第一章立体几何中的向量方法-副本讲解.doc

第3讲　立体几何中的向量方法 考情解读　1.以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间中平行与垂直的证明，常出现在解答题的第(1)问中，考查空间想象能力，推理论证能力及计算能力，属低中档问题.2.以多面体(特别是棱柱、棱锥或其组合体)为载体，考查空间角(主要是线面角和二面角)的计算，是高考的必考内容，属中档题.3.以已知结论寻求成立的条件(或是否存在问题)的探索性问题，考查逻辑推理能力、空间想象能力以及探索能力，是近几年高考命题的新亮点，属中高档问题． 1．直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)．平面α、β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)(以下相同)． (1)线面平行 l∥αa⊥μ?a·μ＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (2)线面垂直 l⊥αa∥μ?a＝kμa1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2. (3)面面平行 α∥βμ∥v?μ＝λva2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3. (4)面面垂直 α⊥βμ⊥v?μ·v＝0a2a3＋b2b3＋c2c3＝0. 2．直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算 设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α、β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)． (1)线线夹角 设l，m的夹角为θ(0≤θ≤)，则 cos θ＝＝. (2)线面夹角 设直线l与平面α的夹角为θ(0≤θ≤)， 则sin θ＝＝|cos〈a，μ〉|. (3)面面夹角 设半平面α、β的夹角为θ(0≤θ≤π)， 则|cos θ|＝＝|cos〈μ，v〉|. 提醒　求二面角时，两法向量的夹角有可能是二面角的补角，要注意从图中分析． 3．求空间距离 直线到平面的距离，两平行平面的距离均可转化为点到平面的距离，点P到平面α的距离：d＝(其中n为α的法向量，M为α内任一点). 热点一　利用向量证明平行与垂直 例1　如图，在直三棱柱ADE—BCF中，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点．运用向量方法证明： (1)OM∥平面BCF； (2)平面MDF⊥平面EFCD. 　如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA＝AB＝2，∠BAD＝60°，E是PA的中点． (1)求证：直线PC∥平面BDE； (2)求证：BD⊥PC； 热点二　利用向量求空间角 例2　如图，五面体中，四边形ABCD是矩形，AB∥EF，AD⊥平面ABEF，且AD＝1，AB＝EF＝2，AF＝BE＝2，P、Q分别为AE、BD的中点． (1)求证：PQ∥平面BCE； (2)求二面角A－DF－E的余弦值． 　(2013·山东)如图所示，在三棱锥P－ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH. (1)求证：AB∥GH； (2)求二面角D－GH－E的余弦值． 热点三　利用空间向量求解探索性问题 例3　如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝2AA1，∠ABC＝90°，D是BC的中点． (1)求证：A1B∥平面ADC1； (2)求二面角C1－AD－C的余弦值； (3)试问线段A1B1上是否存在点E，使AE与DC1成60°角？若存在，确定E点位置；若不存在，说明理由． 如图，在三棱锥P—ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，AP＝BP＝AB，PC⊥AC，点D为BC的中点． (1)求二面角A—PD—B的余弦值； (2)在直线AB上是否存在点M，使得PM与平面PAD所成角的正弦值为，若存在，求出点M的位置；若不存在，说明理由． 空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算”问题“运算”化，即通过直线的方向向量和平面的法向量，把立体几何中的平行、垂直关系，各类角、距离以向量的方式表达出来，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题．应用的核心是充分认识形体特征，进而建立空间直角坐标系，通过向量的运算解答问题，达到几何问题代数化的目的，同时注意运算的准确性． 提醒三点：(1)直线的方向向量和平面的法向量所成角的余弦值的绝对值是线面角的正弦值，而不是余弦值． (2)求二面角除利用法向量外，还可以按照二面角的平面角的定义和空间任意两个向量都是共面向量的知识，我们只要是在二面角的两个半平面内分别作和二面角的棱垂直的向量，并且两个向量的方向均指向棱或者都从棱指向外，那么这两个向量所成的角的大小就是二面角的大小．如图所示． (3)对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，四点P，A，