求不定积分的几种方法3.2.doc

求不定积分的几种方法 刘灯 （吉首大学数学与计算机科学学院，湖南 吉首-416000） 摘 要 ：本文比较全面的总结了几种求不定积分的方法，并给出了相应的例子 . 关键词：直接积分；第一换元积分；第二换元积分；分部积分；有理函数积分 Several methods of seeking indefinite integral Liu deng (Jishou University, School of Mathematics and Computer Science, Hunan Jishou -416000) Abstract: This article compares a comprehensive summary of several seeking indefinite integral method, and gives examples of the corresponding Key words: direct integral; first substitution integral; second substitution integral; branch points; rational function integral  1引言 定义1.1设函数与在区间上都有定义，若 ， 则称为在区间上的一个原函数。 定义1.2函数在区间上的全体原函数称为在的不定积分，记作 ， 其中称为积分号，为被积函数，为被积表达式，为积分变量。 定义1.3若是的一个原函数，则称 的不定积分是一个函数族，其中是任意常数，为方便起见，写作 . 这时又称C为积分常数，它可取任一实数值。 定义1.4 设在上有定义，在上可导，且，，并记 . (i)若在上存在原函数，则在上也存在原函数,，即 . (1) (ii)又若 ，则上述命题(i)可逆，即当在上存在原函数时，在上也存在原函数，且=，即 =. (2) 以上(i)和(ii)分别称为第一换元积分法和第二换元积分法，公式（1）和（2）分别称为第一换元公式第二换元公式。 定义1.5若与可导，不定积分存在，则也存在，并有 （3） 公式（3）称为分部积分公式，常简写作 . 定义1.6有理函数是指由两个多项式函数的商所表示的函数，其一般形式为 ， （1） 其中为非负整数，与都是常数，且 若，则称它为真分式；若，则称它为假分式。 定义1.7基本积分公式如下：（1）. （2）. (3) . （4）. （5）. (6). （7）. （8）. (9. (10). (11). (12). (13). (14) 2主要方法的列举及运用 2.1根据基本积分公式求不定积分 例2.1 求的不定积分。 解 . 2.2用第一换元积分法来求不定积分。利用该方法求不定积分的步骤是：（1）将凑成形式；（2）作变量代换，令；（3）换回原来的变量，即代替，从而求出函数的积分。 例2.2 求. 解 由 可令，则得 2.3利用第二换元积分法求不定积分，该方法的步骤为：（1）变量代换；（2）换回原来的积分。 例2.3 求 解 令，于是 =+C =+C. 2.4利用分部积分法求不定积分，运用此方法的关键在于与的选取，而与的选取又必须注意以下两点：（1）要容易求；（2）比要容易求。 例2.4 求. 解 令，则有由分部积分公式求得 . 2.5用有理函数的不定积分法。看到一个不定积分函数，如果用换元积分法和分部积分法都无法解答出来，则必须用有理函数积分法。有理函数的积分可归结为多项式和最简真分式的积分，该方法适合于求有理函数的不定积分。 例2.5 求. 解 在本题中，由于被积函数的分母只有单一因式，因此，部分分式分解能被简化为 现分别计算部分分式的不定积分如下： = 由递推公式，求得其中 = 于是得到 2.6用三角函数有理式的不定积分法。通常情况下，当被积函数是时，通过变换，可把它化为有理函数的不定积分。特别地，当被积函数是及的有理式时，采用变换往往较为方便。 例2.6 求 解 令，则有 = = 2.7某些无理根式的不定积分可化为有理函数的不定积分，然后再根据有理函数的不定积分法来求。（1）当无理根式为型时，只需令，就可化为有理函数的不定积分；（2）当无理根式为型时，时，时，可将其转化为以下三种类型之一：当分别令后，它们就都化为三角有理式的不定积分。 例2.7 求 解 若令则可解出 于是所求不定积分直接化为有理函数的不定积分： = =. 参考文献： [1] 华东师范大学数学系[M].北京：高等教育出版社,2001年6月.