环形行程问题的中考压轴题.doc

环形行程问题的中考压轴题 申国 张肇平 环形行程问题通常是两个物体或两个质绕圆周或三角形或多边形作匀速运动，其运动方向又可分为同向或相向，速度可能相等也可能不等，正因为如此，它往往比直线上的行程问题要难。下面以2007年几道中考压轴题为例，分析其特点的解法。这些试题与传统的代数应用题不同，通常以综合题的形式出现，与几何结合，有的求最值，有的求图形位置或形状等。对于那些绕三角形或多边形的环形行程问题，有时需要分类讨论。 一、求函数的解析式及求最值 分析：这类问题是绕三角形或多边形的边运动，其结果往往与点在不同的边上有关，因此有必要分类讨论，点在不同的边上有不同的解析式，在求得函数的解析式是二次函数后，即可求得最值。 例1、如图，正方形ABCD的边长为3a，两动点E、F分别从顶点B、C同时开始以相同速度沿BC、CD运动，与△BCF相应的△EGH在运动过程中始终保持△EGH≌△BCF对应边EG=BC，B、E、C、G在一直线上。（1）若BE=a，求DH的长；（2）当E点在BC边上的什么位置时，△DHE的面积取得最小值？并求该三角形面积的最小值。 解：（1）连接FH，则FH//BE，且FH=BE， 在Rt△DFH中， 所以， （2）设，△DHE的面积为y，依题意 即，E是BC的中点时，y取最小值，△DHE的面积y的最小值为。 例2、如图，已知A（8，0），B（0，6），两个动点P、Q同时在△OAB的边上按逆时针方向（O→A→B→O→）运动，开始时点P在点B位置、点Q在点O位置，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位。（1）在前3秒内，求△OPQ的最大面积；（2）在前10秒内，求P、Q两点之间的最小距离，并求此时点P、Q的坐标；（3）在前15秒内，探究PQ平行于△OAB一边的情况，并求平行时点P、Q的坐标。 解：（1）∵A（8，0），B（0，6）， ∴OB=6，OA=8，AB=10。 在前3秒内，点P在OB上，点Q在OA上，设经过t秒，点P、Q位置如图。则OP=6-2t，OQ=t。 ∴△OPQ的面积 当。 （2）在前10秒内，点P从B开始，经过点O、点A，最后到达AB上，经过的总路程为20；点Q从O开始，经过点A，最后也到达AB上，经过的总路程为10，其中P、Q两点在某一位置重合，最小距离为0。 设经过t秒，点Q被点P“追及”（两点重合），则，∴t=6。 ∴在前10秒内，P、Q两点的最小距离为0，点P、Q的相应坐标为（6，0）。 （3）①设，则点P在OB上，点Q在OA上，OP=6-2t，OQ=t。 若PQ//AB，则， ，解得。 此时，、。 ②设，则点P、Q都在OA上，不存在PQ平行于△OAB一边的情况。 ③设，则点P在AB上，点Q在OA上， 。 若PQ//OB，则， ∴，解得。 此时，。 ④设，则两点P、Q都在AB上，不存在PQ平行于△OAB一边的情况。 ⑤设，则点P在OB上、点Q在AB上，。 若PQ//OA，则， ∴，解得。 此时，、 二、求几何图形的位置或形状 分析：注意到匀速运动的两个动点的速度有相同的也有不同的情况，它们所行的路程之比等于它们的速度之比，利用这一点很容易列出比例式，当然对各种不同情况也要分类讨论。 例3、在△ABC中，∠C=Rt∠，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm。现有两个动点P、Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25cm/s的速度沿BC向终点C移动。过点P作PE//BC交AD于点E，连结EQ。设动点运动时间为x秒。（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；（2）当点Q在BD（不包括点B、D）上移动时，设△EDQ的面积为y(cm2)，求y与时间x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当x为何值时，△EDQ为直角三角形。 解：（1）在Rt△ADC中，AC=4，CD=3，∴AD=5， ∵EP//DC，∴△AEP∽△ADC， ，即， 。 （2）∵BC=5，CD=3，∴BD=2，当点Q在BD上运动x秒后，，则 即y与x的函数解析式为：，其中自变量的取值范围是：。 （3）分两种情况讨论： ①当∠EQD=Rt∠时，显然有，又∵EQ//AC， ∴△EDQ∽△ADC， ，即 ，解得。 ②当∠QED=Rt∠时， ∵∠CDA=∠EDQ，∠QED=∠C=Rt∠， ∴△EDQ∽△CDA， ，即，解得。 综上所述，当x为2.5秒或3.1秒时，△EDQ为直角三角形。 例4、已知：如图，△ABC为边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动。设点P时运动时间为t(s)，解答下列问题：（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形？（