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第1章 引 言 §1.1 连续体问题及其离散化求解 在工程技术和物理学中，许多连续体问题（如弹性力学问题）都是以微分方程及施加于未知函数的边界条件的形式提出的，所有这类问题都可以用有限元素法来求解。 这类问题的最一般的提法是，寻求未知函数，使得它在某个“域”（体积、面积等）内（图1-1所示）满足某个微分方程组 图1-1 连续体问题的域及其边界 （1-1） 并在该域的边界上满足某些边界条件 （1-2） 这里，、是某种形式的微分算子，所求的未知函数可以是一个标量，也可以是若干变量组成的一个向量。类似地，微分方程可以是单个方程，也可以是联立方程组。 连续体问题只有通过数学运算才能精确求解，在这里，可用的数学方法通常使这种求解限于过分简单的问题。为了克服实际的那类连续体问题的不易处理性，数学家和工程师们不时地提出了各种离散化方法，这些方法都包含着这样的一种近似：“当离散变量的数目增加时，它如所希望的那样逼近于真实的连续解”。 在实现连续体问题的离散化上，数学家和工程师采用了不同的方法。数学家从连续体问题的微分方程出发，建立了可直接应用于这些方程的一般方法，像有限差分近似法，各种加权残值近似法，以及求适当定义的泛函的极值的近似方法。而工程师则是通过建立实际离散单元与连续区域的有限部分之间的模拟这种更直观的方法来处理连续体问题。“有限单元”一词的产生正是来自于这种工程的“直接模拟”的观点。 有限元素法是一种近似解法，它寻求以下形式的近似解 （1-3） 式中是通过自变量（像坐标等）给定的形状函数，它在有限元素法中起着重要作用；而参数的全部或一部分是未知量。 决定未知参数所需的方程可以通过形如下面的积分表达形式来建立 （1-4） 式中及是已知的函数或算子。 如果微分方程是线性的，即如果可以把式（1-1）和（1-2）写成 ，在内 （1-5） ，在上 （1-6） 式中和是线性微分算子。则积分表达式（1-4）将产生以下形式的线性方程组 （1-7） 这里 ； （1-8） §1.2 等价于微分方程的积分表达形式 因为微分方程组（1-1）必须在域中的每个点处都成立，所以就有 （1-9） 式中是一组任意的函数，其个数等于所涉及的方程（或的分量）的个数。 如果边界条件（1-2）也要同时得到满足，那么我们既可以通过选择函数来保证满足，也可以要求对任意的一组函数有 （1-10） 事实上，积分表达形式 （1-11） 对于一切和都满足就等价于微分方程（1-1）及边界条件（1-2）得到满足。 在上面的讨论中，隐含地假设了像式（1-11）中那样的积分是能够计算出来的。这就对、或所属的允许函数族加上了某些限制。一般来说，应避免采用使积分中任一项变成无限大的函数。因此，在式（1-11）中，我们限于和为有限单值函数，这对前述表达形式的成立没有限制。 在函数等上施加的限制，取决于算子（或）中所含的微分阶次，如果在或的任一项中出现阶导数，那么函数必须具有阶连续的导数（称为连续性）。 在许多情况下，可以对式（1-11）实行分部积分，并用另一种表达形式来代替它： （1-12） 其中算子和中所含导数的阶次比算子和中所含导数的阶次要低。这样做是以提高和的连续性为代价，降低了对函数所要求的连续性阶次。 表达形式（1-12）是比方程（1-1）、（1-2）或（1-11）所给出的原始问题更“容许的”，称为这些方程的弱形式。往往这一弱形式比原始的微分方程在物理上更现实，因为，原始的微分方程对真实解提出了过高的“光滑性”要求。 式（1-11）和（1-12）表达的积分形式形成了有限元素法的基础。 对弹性固体力学问题，体积内的微元体的平衡方程可以用对称的笛卡儿（Descartes，法国哲学家、数学家，1596-1690年）应力张量的分量写成 （1-13） 式中表示作用于单位体积上的力。在固体力学中，这六个应力分量是三个位移分量 （1-14） 的某个一般函数。因此，方程（1-13）可以看成是一般形式的方程（1-1），即。 对任意的一组函数： （1-15） 我们可以将积分表达式（1-9）写成 （1-16） 利用分部积分及格林公