第二十七讲加法原理和乘法原理的综合应用.doc

第二十七讲 加法原理和乘法原理的综合应用 温馨提示 运用加法原理计数，关键在于合理分类，不重不漏。要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)。合理分类也是运用加法原理解决问题的难点，不同的问题，分类的标准往往不同，需要积累一定的解题经验。 运用乘法原理计数，关键在于合理分步。完成这件工作的N个步骤，各个步骤之间是相互联系的，任何一步的一种方法都不能完成此工作，必须连续完成这N步才能完成此工作；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此工作的方法也不同。 运用两个原理解决的都是比较复杂的计数问题，在解题时要细心、耐心、有条理地分析问题。计数时要注意区分是分类问题还是分步问题，正确运用两个原理。灵活机动地分层重复使用或综合运用两个原理，可以巧妙解决很多复杂的计数问题。 例题精讲 【例1】用1角、2角和5角的三种人民币（每种的张数没有限制）组成1元钱，有多少种方法？ 思路点拨：运用加法原理，把组成方法分成三大类： ①只取一种人民币组成1元，有3种方法：10张1角；5张2角；2张5角。 ②取两种人民币组成1元，有5种方法：1张5角和5张1角；一张2角和8张1角；2张2角和6张1角；3张2角和4张1角；4张2角和2张1角。 ③取三种人民币组成1元，有2种方法：1张5角、1张2角和3张1角的；1张5角、2张2角和1张1角的。 所以共有组成方法：3+5+2=10（种）。 【例2】各数位的数字之和是24的三位数共有多少个？ 　　思路点拨：一个数各个数位上的数字，最大只能是9，24可分拆为：24=9+9+7； 24=9+8+7；24=8+8+8。运用加法原理，把组成的三位数分为三大类： 9、9、7三个数字可组成3个三位数：997、979、799； ②由9、8、7三个数字可组成6个三位数：987、978、897、879、798、789； ③由8、8、8三个数字可组成1个三位数：888。 所以组成三位数共有：3+6+1=10（个）。 【例3】下图中共有16个方格，要把A，B,C,D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子，问共有多少种不同的放法？ 思路点拨：从运用乘法原理，把放棋子的过程分为三个步骤： 第一步：放棋子A。棋子A可以任意放，有16种放法。（如下图一） 第二步：放棋子B。棋子B不能放在棋子A所在的行或列，对应棋子A的每一种放法，棋子B都可以放在剩下的9个方格的任意一格里，有9种放法。（如下图二） 第三步：放棋子C。棋子C不能放在棋子A、B所在的行或列，对应前面的每一种放法，棋子C可以放在剩下的4个方格的任意一格里，有4种放法。（如下图三） 第四步：放棋子D。棋子D不能放在棋子A、B、C所在的行或列，对应前面的每一种放法，棋子D都只有1种放法。（如下图四） 所以，四颗棋子共有不同的放法：16×9×4×1=576（种） 【例4】2003年12月6日0时起，南京市电话号码从7位升至8位。由于特殊需要，电信部门一直有这样的规定：普通市内电话号码的首位数字不使用0，1，9。升位前南京市普通电话号码的容量为多少门？升位后，南京市内电话号码的容量增加了多少门？ 思路点拨：从电话号码由0～9共10个数字组成，数字可以重复使用。 升位前的7位电话号码，首位数字不使用0，1，9，共有7种不同的选择，第二、三、四、五、六、七位数字都有10种不同选择。总容量为： 7×10×10×10×10×10×10=7000000（门）。 同理可算出，升位后8位电话号码总容量为： 7×10×10×10×10×10×10×10门）。 升位后，南京市内电话号码的容量增加了：7000000=6300000（门）。 【例5】如下图，用红、绿、蓝、黄四种颜色涂编号为1，2，3，4的长方形，使任何相邻的两个长方形的颜色都不同。一共有多少种不同的涂法？ 思路点拨：涂色的过程可以分为三步。 第一步：给1号长方形涂色，有4种涂法。可以选任意一种颜色。 第二步：给2号长方形涂色，有3种涂法。对于1号长方形每种不同的涂法，2号长方形都可以在剩下的3种颜色里选任意一种，即有3种涂法。 所以，前两步1号和2号长方形共有配色方案4个3种：4×3=12（种）。 第三步：给3号、4号长方形涂色。 3号长方形与1号相邻，与2号不相邻，对于1、2号长方形的每一种配色方案，3号长方形都可以选与1号不同的3种颜色，按3号长方形的涂色情况，可把本题的涂法分为两大类： 第一大类，3号长方形选与2号相同的颜色。 3号长方形只有一种涂法，这时4号长方形可以选与2号不同的3种颜色，有3种涂法。 第一类共有不同涂法：12×1×3=36（种）。