第二篇函数与基本初等函数Ⅰ第9讲函数的应用.doc

第9讲　函数的应用 1．考查二次函数模型的建立及最值问题． 2．考查分段函数模型的建立及最值问题． 3．考查指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题． 【复习指导】 函数模型的实际应用问题，主要抓好常见函数模型的训练，解答应用问题的重点在信息整理与建模上，建模后利用函数知识分析解决问题． 基础梳理 1．常见的函数模型及性质 (1)几类函数模型 一次函数模型：y＝kx＋b(k≠0)． 二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． 指数函数型模型：y＝abx＋c(b＞0，b≠1)． 对数函数型模型：y＝mlogax＋n(a＞0，a≠1)． 幂函数型模型：y＝axn＋b. (2)三种函数模型的性质 　　函数 性质　　 y＝ax(a1) y＝logax(a1) y＝xn(n0) 在(0，＋∞) 上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x＞x0时，有logax＜xn＜ax 一个防范 特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数的定义域． 四个步骤 (1)审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质； (2)建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题； (3)解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题； (4)还原：回到题目本身，检验结果的实际意义，给出结论． 双基自测 1．(人教A版教材习题改编)从1999年11月1日起，全国储蓄存款征收利息税，利息税的税率为20%，由各银行储蓄点代扣代收，某人2011年6月1日存入若干万元人民币，年利率为2%，到2012年6月1日取款时被银行扣除利息税138.64元，则该存款人的本金介于(　　)． A．3～4万元 B．4～5万元 C．5～6万元 D．2～3万元 解析　设存入的本金为x，则x·2%·20%＝138.64，x＝＝34 660. 答案　A 2．(2012·新乡月考)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，xN*)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是(　　)． A．100台 B．120台 C．150台 D．180台 解析　设利润为f(x)(万元)，则f(x)＝25x－(3 000＋20x－0.1x2)＝0.1x2＋5x－3 000≥0，x≥150. 答案　C3．有一批材料可以围成200米长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地(如图)，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为(　　)． A．1 000米2 B．2 000米2 C．2 500米2 D．3 000米2解析　设三个面积相等的矩形的长、宽分别为x米、y米，如图，则4x＋3y＝200，又矩形场地的面积S＝3xy＝3x·＝x(200－4x)＝－4(x－25)2＋2 500，当x＝25时，Smax＝2 500. 答案　C 4．(2011·湖北)里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为__________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍． 解析　由lg 1 000－lg 0.001＝6，得此次地震的震级为6级．因为标准地震的振幅为0.001，设9级地震最大振幅为A9，则lg A9－lg 0.001＝9解得A9＝106，同理5级地震最大振幅A5＝102，所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍． 答案　6　10 000 5．(2012·东三校联考)为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下： 明文密文密文明文 已知加密为y＝ax－2(x为明文，y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是________． 解析　依题意y＝ax－2中，当x＝3时，y＝6，故6＝a3－2，解得a＝2.所以加密为y＝2x－2，因此，当y＝14时，由14＝2x－2，解得x＝4. 答案　4　 考向一　一次函数、二次函数函数模型的应用 【例1】(2011·武汉调研)在经济学中，函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为：Mf(x)＝f(x＋1)－f(x)．某公司每月生产x台某种产品的收入为R(x)元，成本为C(x)元，