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第六章 级 数 本章主要考点 级数部分主要考察的是常数项级数的敛散性分析以及幂级数的收敛区间的判断、求解，是一个独立的部分，历年的命题分值在十分左右，近三年主要以选择、填空的形式出现，值得大家关注。 一、主要内容 1、级数的定义 定义：收敛(+) 性质：① 必要条件 ② 若与都收敛，则收敛 ③若收敛，发散，则必发散 ④若发散，发散，则可能收敛，可能发散； ⑤ P—级数： ⑥ 几何级数： 2、正项级数敛散性判别法 1、充要条件：正项级数收敛部分序列有界 2、比较判别法 若从某一项起为某正常数，则 （1）收敛收敛 （2）发散发散 “大的收敛则小的收敛，小的发散则大的发散” 3、比较判别法的极限形式：若，则 （1）时，与同时收敛同时发散 （2）时，收敛收敛 （3），发散发散 我们常利用等价无穷小以及P—级数来判别级数的同敛同散：若，， 则 p1时收敛；时发散。 4、比值判别法（达朗贝尔判别法） 均为正项级数，若，则 （1）时，收敛 （2）时，发散 （3）时，可能收敛可能发散 比值判别法的优点在于不需要找参考级数。 3、交错级数 若，称为交错级数 莱伯尼兹判别法：对于级数 若满足（1）；（2） 则收敛。 4、一般项级数 （1） 若收敛，则称条件收敛 （2） 若发散，而收敛，则称条件收敛 研究一般项级数的步骤应是先判别绝对收敛，若绝对值发散则研究级数的条件收敛性。交错级数是一般项级数中最重要的一类。 5、幂级数 1、形如的级数称为幂级数，其中是任给定的实数, 为幂级数的系数. 2、阿贝尔定理： （1）若在收敛，则对的绝对收敛； （2）若在发散，则对的也发散。 3、收敛半径和收敛区间 幂级数最重要的问题是计算收敛半径和收敛区间。 （1）当幂级数中的幂次是严格按照自然数依次递增时，即为无缺项幂级数时可应用系数模比值法求收敛半径。 （2）当幂级数中的幂次不是按照自然数依次递增的（比如缺奇次幂或缺偶次幂等），这时必须直接使用比值判别法，即：对求使所求极限小于1，求出的范围即可。 收敛区间:；对于端点处的值带入考察。 4、函数展开为幂级数 一般应用间接法，需要掌握五个基本的展开公式如下： 对于幂级数展开，基本上是由上面5个公式经过加、减、乘、除代入运算而得，也可利用逐项求导、逐项求积方法。 二、典型例题 例1．设为正项级数，下列结论正确的是（ ） （）若，则级数收敛； （）若级数收敛，则； （）若存在非零常数，使，则级数发散； （）若发散，则存在非零常数，使。 解 （）为正项级数的极限审敛法，选（） （）的反例，取，满足，但发散 （）的反例，取，则收敛，但 （）的反例，同（） 例2．下列选项正确的是（ ） （）若与都收敛，则也收敛； （）若收敛，则与都收敛； （）若正项级数发散，则； （）若收敛，且，则也收敛； 解 选（）。 由与收敛知，收敛，又 故，收敛。 （）的反例： （）的反例：为 （）的反例： 例3． 设，且和均收敛，证明也收敛 证明：由和收敛知收敛，又 故收敛，从而再由收敛可知收敛 例4．判别下列级数的收敛性 （1） （2），（ （3） （4） （5） （6） 解：（１）绝对收敛。因为，而收敛。 （２） 当时，发散；当时，收敛。 （３），而收敛，故原级数绝对收敛。 （４）发散。因为收敛，发散。 （５）收敛。，所以， 而收敛，所以原级数收敛。 （６），所以原级数收敛。 例5．若在处收敛，则此级数在处（ ） （A）条件收敛； （B）绝对收敛； （C）发散； （D）收敛性不确定. 解 依题意知，级数的收敛半径满足，又，故级数在处绝对收敛. 选（B）. 例6．幂级数的收敛域为 解 令，则 ， 故当，即，故收敛半径为，收敛区间为，又当与时，级数发散，故收敛域为. 例7．求幂级数的收敛域. 解： 因，故收敛半径，当时，由于一般项在时不趋于零，故幂级数的收敛域为。 例8．将展开为的幂级数。 解： ， 三、历年真题 1．下列正确的是（ ） A. 收敛 B. 收敛 C. 绝对收敛 D. 收敛 2．设有正项级数（1）与（2），则下列说法中正确的是（ ） A．若（1）发散则（2）必发散。 B.若（2）收敛，则（1）必收敛。 C.若（1）发散，则（2）可能发散也可能收敛。 D.（1），（2）敛散性一致。 3．设为正项级数，如下说法正确的是（ ）。