第十一讲无穷级数.doc

第十一章 无穷级数 一、学习目的与要求 加深理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，知道无穷级数的基本性质。 熟悉几何级数和p级数的收敛性。 掌握正项级数的比较审敛法，熟练掌握正项级数的比值审敛法。 掌握交错级数的莱布尼兹定理；了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，及绝 对收敛与收敛的关系。 知道函数正项级数的收敛域及和函数的概念。 熟练掌握较简单幂级数的收敛域的求法。 知道幂级数在其收敛区间的一些基本性质。 知道幂级数和函数的概念，并会求一些常见级数的和函数。 知道函数展开为泰勒级数的充要条件。 10、掌握和的麦克劳林展开式，并能利用这些展开式将一些简单函数展为幂级数。 知道函数展开为傅立叶级数的充要条件，并能将定义在和上的函数展开为傅立叶级数。能将定义在上的函数展开为正弦或余弦级数。 二、学习重点 1、正项级数的比较审敛法和比值审敛法。 2、交错级数的莱布尼兹定理。3、函数展开成幂级数和傅立叶级数。 三、内容提要 1、级数的概念:设有无穷数列，则称为无穷级数，简称级数。称 为部分和。若存在且有限，则称级数收敛，并称S为级数的和，若不存在或为，则称级数发散。 2、收敛级数的性质 （1）若级数，收敛，则对任意常数， 。 （2）改变级数有限多项的值，不影响它的收敛性。 （3）收敛级数可任意添加括号，且和不变。 （4）收敛级数的通项。数项级数区分为正项级数，交错级数及任意项级数，这三类级数的收敛性判别亦不同。 3、正项级数的判别法 除开因而判断级数发散外，常用以下方法判断级数的收敛性。 比较判别法：若n充分大时有，则当收敛时，也收敛；当发散时，也发散。 比较判别法的极限形式：若则当时， 与有相同的敛散性；当＝0时，由收敛，也收敛；当=+时，由发散，也发散。 比值判别法：若，则当时级数收敛，时级数发散,时级数可能收敛，也可能发散。 根值判别法：若，则当时级数收敛，时级数发散，时级数可能收敛也可能发散。 积分判别法：设在上是非负且单调减，，n=1,2,…,则级数收敛的充要条件是收敛。 常用于比较判别法及其极限形式的正项级数是： 几何级数（等比级数）：，当时收敛；时发散。 P-级数：，当级数收敛；当时级数发散。 例如：，当时收敛；当时发散。 4、交错级数的莱布尼兹判别法:若，n=1,2,…，，则交错级数收敛，且和，余项。 5、任意项级数的收敛:任意项级数（含交错级数）的收敛性分为绝对收敛和条件收敛，若级数收敛，称级数绝对收敛；若发散，而收敛，称条件收敛。（注意：绝对收敛的级数必收敛。） 6、函数项级数收敛:（n=1,2,…）都是定义在X上的函数，则称为函数项级数。若给定，数项级数收敛，称为函数项级数的收敛点。所有收敛点的集合E称为收敛域。对，级数的和记为，称函数，为级数的和函数。 7、幂级数的概念:形如的级数称为的幂级数，其中为常数，称为幂级数的系数。幂级数的收敛域是以为中心，以R为半径的区间，收敛半径R由公式或给出，当R＝0时幂级数仅在点收敛；当时，幂级数的收敛区间为，端点也可能是收敛点；当时，幂级数在上都收敛。 8、幂级数的性质 （1）幂级数在收敛区间内绝对收敛，在内发散，在端点处可能收敛，也可能发散。 （2）幂级数的和函数在收敛域上连续。 （3）幂级数在其收敛区间内可逐项微分或逐项积分，而且所得的新的幂级数收敛半径不变。因而，在该区间内可逐项微分及逐项积分无穷多次。 （4）若与的收敛半径分别为，令，则当时， 其中， （5）若在点可以展成幂级数，则必为在点处的泰勒级数，即若，，则，在点处的泰勒级数又称麦克劳林级数。它表示为。 9、五个重要的幂级数展开式:（1） （2） （3） （4） （5） 特别地 10、函数展成幂级数 直接法 先求出，得到幂级数，并求此级数的收敛域，再证此收敛域内泰勒公式中余项收敛于零，从而得到幂级数展开式。 间接法 利用五个重要函数幂级数展开式，通过适当变量代换、四则运算、复合运算以及微分、积分等方法将一个函数展成幂级数，并指出其收敛域。 11、和函数的求法 根据和函数定义，先求级数部分和，再取极限得到。 通过和差运算将级数化为易求和的若干级数的和与差。 通过逐项积分或逐项微分将幂级数化为常见函数的幂级数并求和，然后再对它作相反的分析运算（反演）得到原幂级数的和函数。 12、傅立叶级数：设是以为周期的周期函数，在上可积，则的傅立叶系数为： ， n=0,1,2,… ， n=1,2,… 由以上，为系数的三角级数 称为的傅立叶级数，记做 当x是以为周期的奇函数时，，n=0,1,2,…， ， n=1,2,… 此时 ，称之为正弦级数。 当x是以为