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【高三总复习】2013高中数学技能特训4-1平面向量的概念与线性运算(人教B版)含解析
4-1平面向量的概念与线性运算
基础巩固强化1.(文)(2011·宁波十校联考)设P是ABC所在平面内的一点,+=2,则( )
A.+=0 B.+=0
C.+=0 D.++=0
[答案] B
[解析] 如图,根据向量加法的几何意义,+=2P是AC的中点,故+=0.
(理)已知ABC中,点D在BC边上,且=2,=r+s,则r+s的值是( )
A. B.
C.-3 D.0
[答案] D
[解析] =-,=-.
=--=--.
=-,
=-.
又=r+s,r=,s=-,
r+s=0.
2.(2012·四川理,7)设a、b都是非零向量,下列四个条件中,使=成立的充分条件是( )
A.a=-b B.ab
C.a=2b D.ab且|a|=|b|
[答案] C
[解析] 本小题考查共线向量、单位向量、向量的模等基本概念.
因表示与a同向的单位向量,表示与b同向的单位向量,要使=成立,则必须a与b同向共线,所以由a=2b可得出=.
[点评] a=-b时,a与b方向相反;ab时,a与b方向相同或相反.因此A、B、D都不能推出=.
3.已知向量a=(1,3),b=(3,n),若2a-b与b共线,则实数n的值是( )
A.3+2 B.9
C.6 D.3-2
[答案] B
[解析] 2a-b=(-1,6-n),
2a-b与b共线,-1×n-(6-n)×3=0,
n=9.
4.设平面内有四边形ABCD和点O,若=a,=b,=c,=d,且a+c=b+d,则四边形ABCD为( )
A.菱形 B.梯形
C.矩形 D.平行四边形
[答案] D
[解析] 解法一:设AC的中点为G,则+=b+d=a+c=+=2,G为BD的中点,四边形ABCD的两对角线互相平分,四边形ABCD为平行四边形.
解法二:=-=b-a,
=-=d-c=-(b-a)=-,
AB綊CD,四边形ABCD为平行四边形.
5.设=e1,=e2,若e1与e2不共线,且点P在线段AB上,|AP||PB|=4,如图所示,则=( )
A.e1-e2
B.e1+e2
C.e1+e2
D.e1-e2
[答案] C
[解析] =4,=+=5,
=+=-
=-(-)=+=e1+e2.
6.P是ABC内的一点,=(+),则ABC的面积与ABP的面积之比为( )
A.2 B.3
C. D.6
[答案] B
[解析] 由=(+),得3=+,
++=0,P是ABC的重心.
ABC的面积与ABP的面积之比为3.
7.(2013·福建省惠安三中模拟)已知向量a=(2x+1,4),b=(2-x,3),若ab,则实数x的值等于________.
[答案]
[解析] a∥b,3(2x+1)-4(2-x)=0,x=.
8.已知点A(2,3),C(0,1),且=-2,则点B的坐标为________.
[答案] (-2,-1)
[解析] 设点B的坐标为(x,y),则有=(x-2,y-3),=(-x,1-y),因为=-2,
所以解得x=-2,y=-1.
9.(2012·东北三省四市联考)在ABC中,AB=2AC=2,·=-1,若=x1+x2(O是ABC的外心),则x1+x2的值为________.
[答案]
[解析] O为ABC的外心,=x1+x2,·=x1·+x2·,由向量数量积的几何意义,·=||2=2,4x1-x2=2,
又·=x1·+x2·,-x1+x2=,
联立,解得x1=,x2=,x1+x2=.
10.设两个非零向量a与b不共线,
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b).求证:A、B、D三点共线;
(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
[解析] (1)证明:=a+b,=2a+8b,=3(a-b),
=+=2a+8b+3(a-b)
=5(a+b)=5.
、共线,
又它们有公共点B,A、B、D三点共线.
(2)解:ka+b与a+kb共线,
存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),
(k-λ)a=(λk-1)b.
a、b是不共线的两个非零向量,
k-λ=λk-1=0,k2-1=0.k=±1.
能力拓展提升11.(2012·珠海调研)已知ABC及其平面内点M满足++=0,若存在实数m使得+=m成立,则m等于( )
A.2 B.3 C.4 D.5
[答案] B
[解析] 解法1:由已知条件+=-.
如图,延长AM交BC于D点,则D为BC的中点.延长BM交AC于E,延长CM交AB于F,则E、F分别为AC、AB的中点,即M为ABC的重心.
==(+),即+=3,则m=3.
解法2:+=-+-=+-2=m,+=(m-2),
++=0,(m-2)=,m=3.
12.如图,在ABC中,AD=DB,AE=EC,CD与BE交于F,设=a,=b,=xa+y
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