人口的预测和控制.doc

数学与计算科学学院 实 验 报 告 实验项目名称 人口的预测和控制 所属课程名称 数学模型 实 验 类 型 综合 实 验 日 期 2013-4-1 班 级 数学1102班 学 号 201164100207 姓 名 吕立婷 成 绩 一、实验概述： 【实验目的】 【实验原理】 【实验环境】 Microsoft Windows XP Intel(R) Core（TM） I5-2400 CPU @ 3.10GHz 3.09 GHz，3.16 GB的内存 MATLAB6.5 二、实验内容： 【实验方案】 一、指数增长模型 模型假设1 人口年增长率保持不变 记今年人口为，年后人口为，则 (1) 为了利用微积分这一数学工具，将视为连续、可微函数。记初始时刻的人口为，即，则 （2） 二、阻滞增长模型---模型 模型假设2 人口增长到一定数量后增长率下降，且随着人口数量的增加而下降 若将表示为的函数，则它应是减函数，即。则 （3） 由这个方程解得 （4） 时，（3）式表示人口将按指数规律随时间无限增长，称为指数增长模型。 模型假设3 设为的线性函数，则 （5） 这里称固有增长率，表示人口很少时（理论上是）的增长率。为了确定系数的意义，引入自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量，称人口容量。当时人口不再增长，即增长率，代入（5）式的，于是，将代入方程（4），得 ， （6） 方程（6）右端的因子体现人口自身的增长趋势，因子则体现了环境和资源对人口增长的阻滞作用。显然，越大，前一因子越大，后一因子越小，人口增长是两个因子共同作用的结果，（6）称为阻滞增长模型。 三、模型的参数估计、检验和预报 用指数增长模型或阻滞增长模型进行人口预报，先要作参数估计。除了初始人口外，指数增长模型要估计，阻滞增长模型则要估计和。它们可以用人口统计数据拟合得到，也可以辅之以专家的估计。 为了估计指数增长模型（2）或（3）中的参数和，需将（3）式取对数，得 （8） 以美国人口实际数据为例（将表3数据列为表4第1，2列），对(8)式作数据拟合，如用1790年至1900年的数据，得到=0.2743/(10年)，=4.1884；如用全部数据可得=0.2022/（10年），=6.0450。也可以令=3.9（1790年实际人口），只计算。 用得到的和代入（3）式，将计算结果与实际数据作比较。表4中计算人口是用1790年至1900年数据拟合的结果，是用全部数据拟合的结果，图3和图3是它们的图形表示（+号是实际数据，曲线是计算结果）。 表4 指数增长模型和阻滞增长模型对美国人口数据拟合的结果 年 实际人口 /百万 计算人口 （指数增长模型） 计算人口 （指数增长模型） 计算人口 （阻滞增长摸型） 1790 3.9 4.2 6.0 3．9 1800 5.3 5.5 7.4 5.0 1810 7.2 7.2 9.1 6.5 1820 9.6 9.5 11.1 8.3 1830 12.9 12.5 13.6 10.7 1840 17.1 16.5 16.6 13.7 1850 23.2 21.7 20.3 17.5 1860 31.2 28.6 24.9 22.3 1870 38.6 37.6 30.5 28.3 1880 50.2 49.5 37.3 35.8 1890 62.9 65.1 45.7 45.0 1900 76.0 85.6 55.9 56.2 1910 92.