抽象函数性质要点.doc

题根研究 抽象函数性质寻根 一、抽象函数 考场有约 如果把用解析式定义的函数称为“具体函数”,那么,不用解析式而直接用性质定义的函数则可称为“抽象函数”. 抽象函数在近年的考卷中频频出现，如2007年天津卷第7题就是抽象函数的例子. 【例1】 在R上定义的函数f (x)是偶函数，且f (x) = f (2 – x)，若f (x)在区间［1，2］上是减函数，则f (x) A.在区间［–2，–1］上是增函数，在区间［3，4］上是增函数 B.在区间［–2，–1］上是增函数，在区间［3，4］上是减函数 C.在区间［–2，–1］上是减函数，在区间［3，4］上是增函数 D.在区间［–2，–1］上是减函数，在区间［3，4］上是减函数 【分析】 习惯于用具体解析式研究函数性质的人，对用抽象定义的函数往往感到不习惯. 其实直接用抽象函数来解决函数问题，有时比用解析式还方便. 本题就是这样的例子. 【解答】 B 由函数是偶函数知函数的图像关于y轴对称，函数在区间［–2，–1］的单调性与在区间［1，2］的单调性相反，为增函数；由 f (x) = f (2 – x)知函数的图像关于直线x =1对称，故函数在区间［3，4］上的单调性与在区间［–2，–1］上的单调性相反，为减函数，所以选B. 【点评】 本题以抽象函数为载体考查了函数图像和函数的性质. 抽象函数的解法通常采用“形象法”——画图. 按给出的性质画出符合性质的最简略图. 如本题所画的略图如下——直线段示图——它符合题目给出的3条性质. 【互动】 抽象与形象互动. 从函数略图上形象看到，这个函数是个周期函数，用函数的抽象性质证明如下： 由f (x) = f (2 – x)和f (– x) = f (x)可以推得 f (x) = f (2 + x)，由此可知f (x) 是一个周期为2的周期函数的. 从形象上还可看到，函数有无穷条对称轴x = m (m∈Z). 因为x = 0和x = 1是它的对称轴，又函数的周期为2，故x = m都是它的对称轴. 证明从略。 【注意】 对称性问题，要弄清：是一个函数本身的对称，还是两个函数的对称. 如由f (a +x) = f ( b – x)得函数f (x)的图像关于直线对称，而函数y = f ( a + x)与y = f ( b – x)的图像关于直线对称. 二、抽象函数 函数集合 用性质定义的抽象函数，它往往不是一个具体的函数，有时符合性质的函数是一类函数，或者说是一类函数的集合. 如例1，符合给定的3条性质的函数除了简图中线段表示的函数外，还有没有其他的函数也含有这3条性质——我们继续研究例1. 【例2】 在R上定义的函数f (x)是偶函数，且f (x) = f (2 – x)，若f (x)在区间［1，2］上是减函数，则函数f (x)可能是： A. sinπx B. – sinπx C. cosπx D. – cosπx 【解答】 D 这4个函数的周期都是2. 符合“偶函数”条件的只有C和D. 而在区间［1，2］上递减的只有D. 故答案为D. 图像如下 【探究】 例1中的函数f (x)，除了上述两图像表示的具体函数以外，还有没有其他的函数呢？显然，这个函数集合中的“元素”——多到无穷. 如以下解析式表示的函数都是： f (x) = – A cosπx + m，其中A为正数，m为任意实数. 那么，这里的f (x)到底是个什么函数呢？请不要老是往统一的解析式上寻找. 它是一个函数集合，我们可以用集合的描述法表示如下： A = { f (x) | f (x)是R上偶函数，f (x) = f (2 – x)，f (x)在区间［1，2］上递减} 像这样的抽象函数还有： B = { f (x) | f (– x )= f (x)}是偶函数的集合； C = { f (x) | f (– x )= – f (x)}是奇函数的集合； D = { f (x) | f ( x+y) = f ( x) + f (y)}是正比例函数的集合； E = { f (x) |= }是一次函数的集合，等等. 对这些抽象函数（集合），随着其他条件（性质）的添加，则抽象函数逐步提出它们的“子集”或“元素”. 如在D中，限制条件f (1)= – 2，则得到此集合中的一个“元素”：f (x) = – 2 x. 三、抽象函数 用方程定义 在7大数学思想中，人们把“函数方程思想”放在首位，函数与方程本来就是一对孪生兄弟. 函数的解析式 y = f (x)可视二元方程F (x，y) = 0；反之，对二元方程F (x，y)，也可把y视作x的函数. 因此，函数不仅可用解析式定义，还可用方程或不等式定义