抽样方法、正态分布要点.doc

抽样方法、正态分布 　　重点、难点讲解： 　　1．抽样的三种方法：简单随机抽样、系统抽样、分层抽样。后两种方法是建立在第一种方法基础上的。　　2．了解如何用样本估计总体: 用样本估计总体的主要方法是用样本的频率分布来估计总体分布，主要有总体中的个体取不同数值很少和较多甚至无限两种情况。 　　3．正态曲线及其性质N()，其正态分布函数：f(x)=, x∈(-∞,+∞)。 　　把N(0,1)称为标准正态分布，相应的函数表达式：f(x)=, x∈(-∞,+∞)。 　　正态图象的性质： 　　曲线在x轴的上方，与x轴不相交。 　　曲线关于直线x=μ对称。 　　曲线在x=μ时位于最高点。 　　当xμ时，曲线上升；当xμ时，曲线下降，并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。 　　当μ一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。 　　4．一般正态分布与标准正态分布的转化 　　对于标准正态分布，用表示总体取值小于x0的概率，即=p(xx0)，其几何意义是由正态曲线N(0,1)，x轴，直线x=x0所围成的面积。又根据N(0,1)曲线关于y轴的对称性知，，并且标准正态总体在任一区间(a,b)内取值概率。 　　任一正态总体N()，其取值小于x的概率F(x)=。 　　5．了解“小概率事件”和假设检验的思想。 　　知识应用举例： 　　例1．从503名大学一年级学生中抽取50名作为样本，如何采用系统抽样方法完成这一抽样？ 　　思路分析：因为总体的个数503，样本的容量50，不能整除，故可采用随机抽样的方法从总体中剔除3个个体，使剩下的个体数500能被样本容量50整除，再用系统抽样方法。 　　解：第一步：将503名学生随机编号1，2，3，……，503 　　第二步：用抽签法或随机数表法，剔除3个个体，剩下500名学生，然后对这500名学生重新编号。 　　第三步：确定分段间隔k==10,将总体分成50个部分，每部分包括10个个体，第一部分的个体编号为1，2，……，10；第二部分的个体编号11，12，……，20；依此类推，第50部分的个体编号491，492，……，500。 　　第四步：在第一部分用简单随机抽样确定起始的个体编号，例如是7。 　　第五步：依次在第二部分，第三部分，……，第五十部分，取出号码为17，27，……，497，这样就得到了一个容量为50的样本。 　　例2．对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下： 　　 　　（1）列出频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计电子元件寿命在100h～400h以内的概率； 　　（4）估计电子元件寿命在400h以上的概率；（5）估计总体的数学期望。 　　思路分析：由于样本的取得具有代表性，因此，可以利用样本的期望近似地估计总体的期望。 　　解：（2）频率分布直方图如下： 　　　　　 　　（3）从频率分布表可知，寿命在100h～400h的元件出现的概率为0.65；　　（4）寿命在400h以上的电子元件出现的频率为0.20+0.15=0.35，故我们估计电子元件寿命在400h以上的概率为0.35。 　　（5）样本的期望为： 　　　　所以，我们估计生产的电子元件寿命的总体期望值（总体均值）为365h。 　　例3．正态总体为μ=0, σ=1时的概率密度函数是f(x)=, 　x(-∞, +∞) , 　　（1）证明f(x)是偶函数；（2）利用指数函数的性质说明f(x)的增减性。 　　证明：（1）任意的xR，f(-x)=, ∴f(x)是偶函数。 　　（2）任取x1x20，则， 　　， ，即f(x1)f(x2)。 这说明f(x)在(-∞,0)上是递增函数， 　　同理可证f(x)在(0, +∞)上是递减函数。 　　例4．随机变量ξ服从N(0,1)，求下列值。 　　（1）P(ξ≥2.55)　 （2）P(ξ-1.44)　 （3）P(|ξ|1.52) 　　思路分析：标准正态分布，可以借助标准正态分布表。用到的公式主要有：(-x)=1-(x)；P(axb)=(b)-(a)；p(x≥x0)=1-p(xx0)。 　　解：（1）P(ξ≥2.55)=1-p(ξ2.55)=1-(2.55)=1-0.9946=0.0054。　　 　　（2）P(ξ-1.44)=(-1.44)=1-(1.44)=1-0.9251=0.0749。 　　（3）P(|ξ|1.52)=p(-1.52ξ1.52)=(1.52)-(-1.52) =2(1.52)-1=2×0.9357-1=0.8714。 　　例5．设,且总体密度曲线的函数表达式为：f(x), x∈(-∞,+∞)。