二次函数-老师要点.doc

知识要点 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。注意：二次项系数a≠0，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数y＝ax2+bx+c的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次多项式。（①含自变量的代数式是整式，②自变量的最高次数是2， ③二次项系数不为0.） ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 二、二次函数的解析式三种形式 一般式：y＝ax2+bx+c （a，b，c为常数，a≠0） 　顶点式：y＝a(x-h)2+k [抛物线的顶点P（h，k）] 　交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x轴有交点A（x1，0）和B（x2，0）的抛物线] 三、二次函数的图象和性质： 四、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a. (决定了抛物线开口的大小和方向) 二次函数中，a作为二次项系数，显然a≠0 ① 当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下； ②的绝对值越大，开口越小，反之的绝对值越小，开口越大。 总结起来：决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定 开口的大小． 2. 一次项系数b （a和b共同决定抛物线对称轴的位置） 二次函数的对称轴是直线 ①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧. ab的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则 总结起来就是“左同右异” 常数项c (决定了抛物线与轴交点的位置) ⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负． 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置． 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 五、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”． 总的来说：“左加右减，上加下减”． 六、二次函数图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于对称轴对称的点、与轴的交点，（若与轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. 七、二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况： 一般式：（，，为常数，），适用条件：已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 顶点式：（，，为常数，），适用条件：已知图像上点两坐标，且其中一点为抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 交点式（两根式）：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）， 适用条件：已知图像上三点坐标，其中两点为抛物线与轴的两个交点（，0），（，0），一般选用交点式； 八、掌握二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系(以a0为例） 判别式 ? 二次函数a0 对称轴： 交点式： 当x为全体实数时，y0 一元二次方程 两根为 （有两个不相等的实数根） （有两个相等的实数根） 无实根 九、二次函数常用解题方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值利用顶点坐标公式，即当时，；或先配方利用顶点式求最值。 ⑶ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 考点分析 考点一、二次函数的图象及性质 【例1】 (1)二次函数y＝－3x2－6x＋5的图象的顶点坐标是(　　) A．(－1,8) B．(1,8) C．(－1,2) D．(1，－4) (2)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的对称轴为直线x＝1，且经过点(－1，y1)，(2，y2)，试比较y1和y2的大小：y1________y2.(填“＞”“＜”或“＝”) 解析：(1)抛物线的顶点