第10章 能量法.ppt

3、力法正则方程 例题??悬臂梁AB如图所示，A、B端固支。 问题为三次超静定。除掉A 端固支，得到包含未知反力的静定结构，称为静定基。 利用叠加原理，分别画出外载荷（图b)； 支反力X1和X2（图b和图c)单独作用图。 式中， 分别表示外载荷在静定基中X1和X2方向上产生的位移。 按照归一化要求，改写 式中， 为Xi 方向上的总位移； 为外载荷(P)在静定基中在Xi 方向上的位移； 为未知反力Xj =1在静定基中作用在Xi 方向上的位移； 上式称为力法正则方程， 称为柔度系数。 利用莫尔积分，正则方程中的柔度系数写为 提问 ：对二次静不定问题要作几个弯矩图，用莫尔图乘法，要作几次图乘？三次静不定问题呢? 提问 ：运用前面的知识，证明柔度系数具有对称性 dij=dji 例题??悬臂梁AB如图所示，A、B端固支。求支反力。 解：画静定基（图a)，分别画弯矩图b-d； 代入力法正则方程，得 解联立方程组得， 例题 内力为一次静不定桁架如图 (a)所示，设各杆EI相同，求两种情况下的各杆轴力： (1) 在力P的作用下； (2) P = 0，但杆5升温?T， 已知材料膨胀系数?。 解：(1) 断开杆5，加一对约束内力X1即得静定基如图 (b)所示。 杆号 i 杆长Li 轴力Ni 轴力N0i 1 a P 2 a P 3 a 0 4 a P 5 0 1 6 1 由表中数据计算，得到 (2) 仅有杆5升温，正则方程为 ?11 X1+ ?1T = 0 ?1T =? l5?T是因杆5升温而引起的相对位移 代入正则方程 ?11 X1+ ?1P = 0 得 其余各杆的内力请读者自行算之。 第十章 结 束 * 例 试计算图a 所示结构在荷载F1作用下的余能Vc 。结构中两杆的长度均为l，横截面面积均为A。材料在单轴拉伸时的应力一应变曲线如图b所示。 解： 两杆轴力均为： 两杆横截面上的应力为： O 1 1 (b) F 1 C B D (a) 所以余能为 余能密度为： 由已知 O 1 1 (b) 1.卡氏第一定理 — 导出“力”的定理 设图中材料为非线性弹性，由于应变能只与最后荷载有关，而与加载顺序无关。不妨按比例方式加载，从而有 假设只与第i个荷载相应的位移有一微小增量d ?i ，则应变能的变化为： 1 2 3 n 1 2 3 n B §10.3 卡氏定理 因仅与第i个荷载相应的位移有一微小增量，而与其余各荷载相应的位移保持不变，因此，对于位移的微小增量d ?i ，仅Fi作了外力功，外力功的变化为： 注意到上式与下式在数值上相等 从而有： （—卡氏第一定理 ） 注意： 卡氏第一定理既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体。 式中Fi及?i分别为广义力、广义位移。 必须将V ?写成给定位移的函数，才可求其变化率。 例 由两根横截面面积均为A的等直杆组成的平面桁架，在结点B处承受集中力F，如图a 所示。两杆的材料相同，其弹性模量为E，且均处于线弹性范围内。试按卡氏第一定理，求结点B的水平和铅垂位移。 解： 设结点B的水平和铅垂位移分别为?1和?2 先假设结点B只发生水平位移?1 （图b） 则： A B (b) C B ?1 A B F 45 O (a) C l 同理，结点B只发生铅垂位移?2（图c） 则： 当水平位移与铅垂位移同时发生时，则有（叠加） A B (c) C B ?2 应用卡氏第一定理得 解得： 桁架的应变能为 2.卡氏第二定理 — 导出“位移”的定理 设有非线性弹性的梁， 梁内的余能为： 假设只第i个荷载Fi有一微小增量dFi ，而其余荷载均保持不变，因此，由于Fi改变了dFi ，外力总余功的相应改变量为： 余能的相应改变量为： 1 2 3 n 1 2 3 n B 由于外力余功在数值上等于余能，得 解得： （称为“余能定理”） 特别： 对线弹性体，由于力与位移成正比，应变能V ?在数值上等于余能V c ， 此时上式变为： （称为“卡氏第二定理”） 式中的Fi 和?i分别为广义力和广义位移。 注意： 1、卡氏第一定理和余能定理既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体，而卡氏第二定理作为余能定理的特例，仅适合于线弹性体。 2、所导出的位移是加力点沿加力方向的位移。 3、当所求位移处无相应广义力时，可在该处“虚加”上广义力，将其看成已知外力，反映在反力和内力方程中，待求过偏导后，再令该“虚加”外力为0。 4、实际应用卡氏第二定理计算时，常采用以下更实用的形式： 例 弯曲刚度为 EI的悬臂梁受三角形分布荷载如图所示。梁的材料为线弹性体，且不计切应变对挠度的影响。试用卡氏