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1、设总体X服从两点分布B(1,p),其中p是未知参数,是来自总体的简单随机样本。指出之中哪些是统计量,哪些不是统计量,为什么?
解: X1+X2 , max{Xi,1≤i≤5}, (X5-X1)2 都是统计数量,
X5+2P 不是统计量,因为p是未知参数。
2、设总体X服从参数为(N,p)的二项分布,其中(N,p)为未知参数,为来自总体X的一个样本,求(N,p)的矩法估计。
解:因为,只需以
分别代解方程组得。
3、设是取自正态总体的一个样本,试问是的相合估计吗?
解:由于 服从自由度为n-1的-分布,故
,
从而根据车贝晓夫不等式有
,所以
是的相合估计。
4、设连续型总体X的概率密度为, 来自总体X的一个样本,求未知参数的极大似然估计量,并讨论的无偏性。
解:似然函数为
,令,得.
由于
,
因此的极大似然估计量是的无偏估计量。
5、随机地从一批钉子中抽取16枚,测得其长度(以厘米计)为 2.14 2.10 2.13 2.15 2.13 2.12 2.13 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 2.11 2.14 2.11设钉长服从正态分布。 若已知σ=0.01(厘米),试求总体均值的0.9的置信区间。()
解:,置信度0.9,
即α=0.1,查正态分布数值表,知,
即,
从而,,
所以总体均值的0.9的置信区间为
6、甲、乙两台机床分别加工某种轴,轴的直径分别服从正态分布与,为比较两台机床的加工精度有无显著差异。从各自加工的轴中分别抽取若干根轴测其直径,结果如下:
总体 样本容量 直径 X(机床甲)
Y(机床乙) 8
7 20.5 19.8 19.7 20.4 20.1 20.0 19.0 19.9
20.7 19.8 19.5 20.8 20.4 19.6 20.2 试问在α=0.05水平上可否认为两台机床加工精度一致?()
解:首先建立假设:
在n=8,m=7, α=0.05时,
故拒绝域为,
现由样本求得=0.2164,=0.2729,从而F=0.793,未落入拒绝域,因而在α=0.05水平上可认为两台机床加工精度一致。
7、为了检验某药物是否会改变人的血压,挑选10名试验者,测量他们服药前后的血压,如下表所列:
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 服药前血压 134 122 132 130 128 140 118 127 125 142 服药后血压 140 130 135 126 134 138 124 126 132 144 假设服药后与服药前血压差值服从正态分布,取检验水平为0.05,从这些资料中是否能得出该药物会改变血压的结论?
解:以X记服药后与服药前血压的差值,则X服从,其中均未知,这些资料中可以得出X的一个样本观察值:
6 8 3 -4 6 -2 6 -1 7 2
待检验的假设为
这是一个方差未知时,对正态总体的均值作检验的问题,因此用t检验法当时,接受原假设,反之,拒绝原假设。依次计算有
,
,
由于, T的观察值的绝对值. 所以拒绝原假设,即认为服药前后人的血压有显著变化。
8、为了研究患慢性支气管炎与吸烟量的关系,调查了272个人,结果如下表:
?
?
? 吸烟量(支/日) ?
?
求和 0—9
? 10—19
? 20—
? 患者数
非患者数
求和 22
22
44 98
89
187 25
16
41 145
127
272 试问患慢性支气管炎是否与吸烟量相互独立(显著水平α=0.05)?
答:10 X=1表示被调查者患慢性气管炎,X=2表示被调查者不患慢性气管炎,Y表示被调查者每日的吸烟支数。
原假设 :X与Y相互独立。
根据所给数据,有
对于α=0.05,由自由度(r-1)(s-1)=(2-1)(3-1)=2,查 -分布表 。因为 =1.2235.991,所以接受 ,即认为患慢性气管炎与吸烟量无关。
?
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