例谈变形技巧在数学解题中的应用设计论文.doc

(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 本科生毕业论文 题目:例谈变形技巧在数学解题中的应用 数学与信息技术学院 数学与应用数学 陈海霞 1120510125 朱秀娟 论文完成日期: 2013年5 月2日 目录 摘要……………………………………………………………………1 一、变形的相关理论…………………………………………………2 二、变形技巧在一元二次方程中的应用……………………………3 三、变形技巧在因式分解中的应用…………………………………5 四、变形技巧在不等式中的应用……………………………………7 五、变形技巧在三角函数中的应用…………………………………9 参考文献………………………………………………………………11 摘要:变形是数学解题的一种基本方法, 变形能力的强弱制约着解题能力的高低. 本文主要探讨变形技巧在一元二次方程、因式分解、不等式和三角函数解题中的应用. 掌握并灵活运用好变形技巧, 可以将复杂问题简单化, 减少麻木性, 提高解题效率. 关键词:数学解题；变形技巧；一元二次方程；因式分解；基本不等式；三角函数 中图分类号:O119 文献标识码:A 例谈变形技巧在数学解题中的应用 陈海霞（1120510125） 数学是个有机的整体, 各部分之间相互联系, 相互渗透, 从而构成相互交错的立体空间, 对各部分知识间的灵活掌握, 更需要融会贯通.[1] 近些年, 数学题目越来越新颖, 技巧性强,对有些题目进行适当变形, 把复杂的数学问题简单化, 从而顺利求得问题的答案. 掌握并灵活运用好各类问题的变形技巧, 有助于培养学生的逻辑推理能力, 运算能力和空间想象能力,同时, 用变形的方法, 有助于把握数学问题的本质, 它既是教师常用的一种重要数学方法,也是学生解题时一种非常有效的思想方法. 此外, 数学的学习内容是有意义的, 富有挑战性的, 要重视学生的学习能力和学习方法, 充分利用数学变形技巧进行解题, 不断提升学生的数学素质.[2] 一、变形的相关理论 变形是数学解题的一种常用方法, 变形能力的强弱制约着解题能力的高低.[1] 变形是为 了达到某种目的或需要而采取的一种手段, 是化归、转化和联想的准备阶段, 它属于技能性 的知识, 既灵活又多变, 一个公式, 一个法则, 它的表达形式多种多样, 也存在技巧与方法,在实践中反复操作才能把握, 能够让学生更好的理解变形技巧, 乃至灵活运用. 变形的一般 形式主要有以下三种: 1. 等价变形 等价变形就是利用等价关系进行的变形, 在等价关系的条件下, 通过等价变换的方式使 数学问题得到解决, 等价变形的本质就是在保持原来各种量之间的关系不变的情况下, 只是 改变它们的表达形式. 常见的等价变形依据有: 根据特定概念的定义, 对数式, 指数式的相 互转化, 如对数函数, 可以等价变形为; 根据等式与不等式的基本性质, 比如移项, 系数化为; 根据计算的结果, 将具体方程或不等式的形式转化为其具体的解 或解集等. 2. 恒等变形 恒等变形是在等价变形的思想指导下进行的, 它的变形形式有代数式恒等变形、多项式 恒等变形、分式恒等变形、三角函数恒等变形、对数式恒等变形等. 若将两个代数式子中的 字母换成任意相同的数值, 这两个代数式的值都相等, 我们就称这两个代数式恒等, 表示两 个代数式恒等的式子叫做恒等式. 如是一个恒等式, 把式子变为的这步变形, 使变形的式子恒等, 我们把这样的变形叫做恒等 变形. 3. 同解变形 同解变形是在等价转化思想的指导下, 通过等价的变换, 使得原来的等式与变形的等式 有相同的解. 方程的同解变形的一般形式有: 交换其中任意两个方程的位置, 其余不变; 将任一个方程乘以一个非零的常数, 其余不变; 将任一个方程的常数倍加到另一个方程上, 其余不变. 需要注意的是: ① 方程两边同时加上或减去同一个分式不是同解变形, 如方程的两边都加 上, 得,原方程的解为, 而变形后的方程无解. ② 方程两边同时乘以不是同解变形, 如方程的两边都乘以, 得, 即, 此方程的解为任何实数, 而原方程的解为. ③ 方程两边同时乘以或除以同一个整式不是同解变形, 如方程的两边都乘 以, 得, 原方程的解为, 而变形后的方程解为, . ④ 方程两边平方不是同解变形, 如方程, 两边平方, 得, 原方程的解为, 而变形后