应用回归第三章课后答案摘要.doc

第3章 多元线性回归 思考与练习参考答案 3.2 讨论样本容量n与自变量个数p的关系，它们对模型的参数估计有何影响？ 答：在多元线性回归模型中，样本容量n与自变量个数p的关系是：np。如果n=p对模型的参数估计会带来很严重的影响。因为： 在多元线性回归模型中，有p+1个待估参数β，所以样本容量的个数应该大于解释变量的个数，否则参数无法估计。 解释变量X是确定性变量，要求，表明设计矩阵X中的自变量列之间不相关，即矩阵X是一个满秩矩阵。若，则解释变量之间线性相关，是奇异阵，则的估计不稳定。 3.3证明 随机误差项ε的方差(2的无偏估计。 证明: 3.4 一个回归方程的复相关系数R=0.99，样本决定系数R2=0.9801，我们能判断这个回归方程就很理想吗？ 答：不能断定这个回归方程理想。因为： 在样本容量较少，变量个数较大时，决定系数的值容易接近1，而此时可能F检验或者关于回归系数的t检验，所建立的回归方程都没能通过。 样本决定系数和复相关系数接近于1只能说明Y与自变量X1,X2,…,Xp整体上的线性关系成立，而不能判断回归方程和每个自变量是显著的，还需进行F检验和t检验。 在应用过程中发现，在样本容量一定的情况下，如果在模型中增加解释变量必定使得自由度减少，使得 R2往往增大，因此增加解释变量（尤其是不显著的解释变量）个数引起的R2的增大与拟合好坏无关。 3.7 验证 证明：多元线性回归方程模型的一般形式为： 其经验回归方程式为， 又， 故， 中心化后，则有， 左右同时除以， 令， 样本数据标准化的公式为 ， 则上式可以记为 则有 3.10 验证决定系数R2与F值之间的关系式： 证明： 3.11 研究货运总量y（万吨）与工业总产值x1（亿元）、农业总产值x2（亿元）、居民非商品支出x3（亿元）的关系。数据见表3.9（略）。 （1）计算出y，x1，x2，x3的相关系数矩阵。 SPSS输出如下： 则相关系数矩阵为： （2）求出y与x1，x2，x3的三元回归方程。 对数据利用SPSS做线性回归，得到回归方程为 （3）对所求的方程作拟合优度检验。 由上表可知，调整后的决定系数为0.708，说明回归方程对样本观测值的拟合程度较好。 （4）对回归方程作显著性检验； 原假设： F统计量服从自由度为（3，6）的F分布，给定显著性水平=0.05，查表得,由方查分析表得，F值=8.2834.76，p值=0.015，拒绝原假设，由方差分析表可以得到，说明在置信水平为95%下，回归方程显著。 （5）对每一个回归系数作显著性检验； 做t检验：设原假设为， 统计量服从自由度为n-p-1＝６的t分布，给定显著性水平0.05，查得单侧检验临界值为1.943，X1的t值=1.9421.943，处在否定域边缘。 X2的t值＝2.4651.943。拒绝原假设。 由上表可得，在显著性水平时，只有的P值0.05,通过检验，即只有的回归系数较为显著 ；其余自变量的P值均大于0.05，即x1，x2的系数均不显著。 （6）如果有的回归系数没有通过显著性检验，将其剔除，重新建立回归方程，并作回归方程的显著性检验和回归系数的显著性检验。 解：用后退法对数据重新做回归分析，结果如下： 选择模型二，重新建立的回归方程为： 对新的回归方程做显著性检验： 原假设： F服从自由度为（2，7）的F分布，给定显著性水平=0.05，查表得,由方差分析表得，F值=11.1174.74，p值=0.007，拒绝原假设. 认为在显著性水平=0.05下，x1，x2整体上对y有显著的线性影响，即回归方程是显著的。 对每一个回归系数做显著性检验： 做t检验：设原假设为，统计量服从自由度为n-p-1＝７的t分布，给定显著性水平0.05，查得单侧检验临界值为1.895，X1的t值=2.5751.895，拒绝原假设。故显著不为零，自变量X1对因变量y的线性效果显著； 同理β2也通过检验。同时从回归系数显著性检验表可知：X1,X2的p值 都小于0.05，可认为对x1，x2分别对y都有显著的影响。 （7）求出每一个回归系数的置信水平为955D 置信区间 由回归系数表可以看到，β1置信水平为95%的置信区间[0.381,8.970]， β2置信水平为95%的置信区间[3.134,14.808] （8）求标准化回归方程 由回归系数表（上表）可得，标准化后的回归方程为： （9）求当x01=75，x02=42，x03=3.1时的y的预测值，给定置信水平95%，用SPSS软件计算精确置信区间，用手工计算近似预测区间； 由SPSS输出结果可知，当时，（见上表），的置信度为95%的精确预测区间为（204.4,331.2）（见下表），的置信度为95%的近似预测区间为，手工计算得：（219.6,316