应用基本不等式常见题型与思路摘要.doc

基本不等式知识点总结 绝对值不等式： 双向不等式： 左边当时取得等号，右边当时取得等号. ①，则. 【说明】：（，糖水的浓度问题）. 【拓展】： ②，，则； ③，； ④，. ⑤,. 函数图象及性质 (1)函数图象如图： (2)函数性质： ①值域：； ②单调递增区间：，；单调递减区间：，. 重要不等式 1、和积不等式：(当且仅当时取到“”)． 【变形】：（当a = b时，【注意】： ， 2、均值不等式 两个正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系，即“平方平均算术平均几何平均调和平均” 3、含立方的几个重要不等式（a、b、c为正数）： （，）； 时，同时除以ab得或。 *均为正数， 八种变式： ① ； ②； ③ ④；⑤若b0,则；⑥a0,b0,则；⑦若a0,b0,则； ⑧ 若，则。 上述八个不等式中等号成立的条件都是“”。 最值定理①，若积，则当时和有最小值； ②，若和，则当是积有最大值. 【推广】：已知，则有. （1）若积是定值，则当最大时，最大；当最小时，最小. （2）若和是定值，则当最大时，最小；当最小时，最大. ③已知，若，则有的最小值为： ④，若则和的最小值为： ①. ② 应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”： ⑴凑系数（乘、除变量系数）.例1.当 时，求函的数最大值. ⑵凑项（加、减常数项）：例2.已知 ，求函数的最大值. ⑶调整分子：例3.求函数的值域； ⑷变用公式：基本不等式有几个常用变形,，不易想到，应重视； 例4.求函数的最大值； ⑸连用公式：例5.已知，求的最小值； ⑹对数变换：例6.已知，且，求的最大值； ⑺三角变换：例7.已知，且，求的最大值； ⑻常数代换（逆用条件）：例8.已知，且，求的最小值. “单调性”补了“基本不等式”的漏洞： ⑴平方和为定值 若（为定值，），可设，其中. ①在上是增函数，在上是减函数； ②在上是增函数，在上是减函数； ③.令，其中.由，得，从而在上是减函数. ⑵和为定值 若（为定值，），则 ①在上是增函数，在上是减函数； ②.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数. ③在上是减函数，在上是增函数； ⑶积为定值 若（为定值，），则 ①.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是增函数； ②.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是减函数； ③在上是减函数，在上是增函数. ⑷倒数和为定值 若（为定值，），则成等差数列且均不为零，可设公差为，其中，则得. ①.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是增函数，在上减函数； ②.当时，在上是减函数，在上是增函数；当时，在上是减函数，在上是增函数； ③.令，其中且，从而在上是增函数，在上是减函数.