第七章数字信号分析(II)——数字滤波摘要.ppt

下图表示了第一，二种情况。（a）表示了线性相位关系；（b）表示了N为奇数时h(n)的偶对称情况；（c）表示了幅度响应特性；（d）、（e）表示了N为偶数，h(n)为偶对称情况及其幅度响应特性。 只要在给定的收敛域内将X(z)展成幂级数，则级数的系数就是序列x(n)。 1、幂级数法 因为x(n)的ZT为z-1的幂级数，即 ● 一般情况下，X(z)是有理函数(有理函数——通过多项式的加减乘除得到的函数)，令分子多项式和分母多项式分别为B(z)和A(z)。1）如果X(z)的收敛域是|z|Rx1，则x(n)必然是因果序列，此时将B(z)和A(z)按z的降幂（或z-1的升幂）次序进行排列。2）如果收敛域是|z|Rx2，则x(n)必然是左边序列，此时将B(z)和A(z)按z的升幂（或z-1的降幂）次序进行排列。然后利用长除法，便可将X(z)展成幂级数，从而得到x(n)。 解：（1）对于收敛域|z|1，x(n)是因果序列，这时X(z)按z-1的升幂次序进行排列，并列写长除式如下： 【例】求收敛域分别为（1）|z|1和（2）|z|1两种情况下, 的逆变换x(n) 补充知识（4）： 求X(z)的逆变换x(n) 所以 从而得到 表明因果序列 （2）若收敛域|z|1，则x[n]是左边序列，这时X(z)按z.1的降幂次序进行排列，并列写长除式： 所以 从而得到 降幂次序排列 升幂次序排列 2、部分分式展开法 实际上，序列的z变换通常是z的有理函数，一般可以表示成有理分式形式 可以先将X(z)展开成一些简单而常见的部分分式之和，然后分别求出各部分分式的逆变换，再把各逆变换相加即可得到x(n)。z变换最基本的形式是z/(z-zm) ，在利用z变换的部分分式展开法的时候，通常先将X(z)/z 展开，然后每个分式乘以z，这样对于一阶极点，X(z)便可展开成z/(z-zm)的形式。将X(z)/z 进行部分分式展开的方法和拉氏变换中将F(s)展开成部分分式的方法相同。 在上述展开式中，部分分式的基本形式除z/(z-a)形式外，还具有z/(z-a)2, … , z/(z-a)m或zm/(z-a)m等形式，下表列出了这些形式的相应的逆变换。 但要注意的是，如果是非因果序列，展开后每一项分式所对应的序列是右边序列还是左边序列，要根据给定的收敛域进行判断。附表列出了左边序列的这些形式的相应的逆变换和常用序列的双边z变换(因果序列) 【例1】 求函数X(z)=1/(z2-0.8z+0.15) (|z|0.5) 的逆变换x(n) 解：将X(z)/z展开成部分分式为 其中 所以 因为收敛域为|z|0.5，因此对应的x(n)为因果序列，得到 【例2】 求函数X(z)=12/[(z+1)(z-2)(z-3)] (1|z|2) 的逆变换x(n) 解：将X(z)/z展开成部分分式为 所以 根据给定的收敛域1|z|2可以判断出，上式前两项的收敛域都满足|z|1，因而它们对应的逆变换应是右边序列，而后两者的收敛域都满足|z|2，故它们对应的逆变换应是左边序列。查表得到 解：X(z)中包含一阶极点z=4和三阶极点z=2，可将X(z)/z展开成如下部分分式 所以 由收敛域|z|4可知，X(z)对应的逆变换x(n)是因果序列。查表求出其逆变换 【例3】 求 的逆变换x(n) 3、留数定理法 ● X(z)的逆变换可由围线积分给出，即 C是包围X(z)zn-1所有极点的逆时针闭合积分路线，通常选择z平面收敛域内以原点为中心的圆。 公式推导：由z变换定义 因为上述推导过程中，并未规定m及n的正负，故上式对正与负的n值都是正确的。 式两边各乘以zm-1，沿C积分 根据复变函数理论中的柯西定理 该围线积分只有当n=m时为2πj，而对其余的n均为零，故等号右边只剩下2πjx(m) ● 利用留数定理求逆z变换 如果X(z)zn-1在z=zm处有s阶极点，它的留数由下式确定 式中Res表示极点的留数值，z=zm为X(z)zn-1的极点。 ▲ 在应用上述公式时，应注意围线所包围的极点情况，特别是对于不同的n值，在z=0处的极点可能具有不同的阶次。 表示为围线C内所包含X(z)zn-1的各极点留数之和，即 借助于复变函数的留数定理，可将式 的积分 或 若只含一阶极点，即 s=1 这里，沿C的积分是按关于D正向取的。 因此：Res(f, z0)=α-1。当z0为f(z)可去极点时，Res(f, z0)=0。 ● 留数与留数定理 留数定义: 设函数f(z)在区域0|z –z0|R内解析，取r满足0rR，作