新课标数学(理)一轮复习讲义第三章正弦定理和余弦定理的应用举例资料.doc

第8讲　正弦定理和余弦定理的应用举例 仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中视线在水平线上方的角叫仰角在水平线下方的角叫俯角(如图①)． ．方位角 从正北方向顺时针转到目标方向线的角(如图②点的方位角为α)． 方向角 相对于某一正方向的角(如图③)． (1)北偏东α：指从正北方向顺时针旋转α到达目标方向． (2)东北方向：指北偏东45 (3)其他方向角类似． [做一做] 在某次测量中在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60点的俯角为70则∠BAC等于(　　) 　　　　　　　　 C．120° D．130° 答案： 1．辨明两个易误点 (1)易混淆方位角与方向角概念：方位角是指正北方向与目标方向线(按顺时针)之间的夹角而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角． (2)解三角形时为避免误差的积累应尽可能用已知的数据(原始数据)少用间接求出的量． 解三角形应用题的一般步骤 [做一做] 若点A在点C的北偏东30点B在点C的南偏东60且AC＝BC则点A在点B的(　　) 北偏东15　　　　　　北偏西15 C．北偏东10北偏西10 解析：选如图所示＝90 又AC＝BC ∴∠CBA＝45 而β＝30°， ∴α＝90－45－30＝15 ∴点A在点B的北偏西15 3．如图设A两点在河的两岸一测量者在A的同侧选定一点C测出AC的距离为50 ＝45＝105则A两点间的距离为________． 解析：由正弦定理得 ＝＝＝50()． 答案：50 ,[学生用书～]) __测量距离____________________________ 　如图隔河看两目标A与B但不能到达在岸边先选取相距千米的C两点同时测得∠ACB＝75＝45＝30＝45(A，B，C，D在同一平面内)求两目标A之间的距离． [解]　在△ACD中 ∠ACD＝120＝∠ADC＝30 ∴AC＝CD＝. 在△BCD中＝45 ∠BDC＝75＝60 ∴BC＝＝ 在△ABC中由余弦定理得 ＝()＋－2××cos 75° ＝3＋2＋－＝5 ∴AB＝()， ∴A，B之间的距离为 [规律方法]　求距离问题的注意事项 (1)选定或确定要求距离问题的注意事项求解的三角形即所求量所在的三角形若其他量已知则直接解；若有未知量则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理如果都可用就选择更便于计算的定理． 　．如图所示要测量一水塘两侧A两点间的距离其方法为：先选定适当的位置C用经纬仪测出角α再分别测出AC的长b则可求出A两点间的距离即AB＝若测得CA＝400 ＝600 ＝60试计算AB的长． 解：在△ABC中由余弦定理得 ＝AC＋BC－2AC·BC ∴AB2＝400＋600－2×400×600＝280 000. ＝200 即A两点间的距离为200 __测量高度____________________________ 　(2014·高考课标全国卷Ⅰ)如图为测量山高MNA和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60点的仰角∠CAB＝45以及∠MAC＝75；从C点测得∠MCA＝60已知山高BC＝100 则山高MN＝________ [解析]　根据题图＝100 在△MAC中＝180－75－60＝45 由正弦定理得＝＝100 在△AMN中＝ ∴MN＝100＝150()． [答案]　150 [规律方法]　求解高度问题的注意事项： (1)在测量高度时要理解仰角、俯角的概念仰角和俯角都是在同一铅垂面内视线与水平线的 (2)准确理解题意分清已知条件与所求画出示意图； (3)运用正、余弦定理有序地解相关的三角形逐步求解问题的答案注意方程思想的运用． 　2.(2015·吉安模拟)要测量底部不能到达的电视塔AB的高度在C点测得塔顶A的仰角是45在D点测得塔顶A的仰角是30并测得水平面上的∠BCD＝120＝40 则电视塔的高度为________ 解析：如图设电视塔AB高为x 则在中由∠ACB＝45得BC＝x.在中＝30则BD＝ 在△BDC中由余弦定理得 BD2＝BC＋CD－2BC·CD· 即()2＝x＋40－2·x·40· 解得x＝40 所以电视塔高为40 答案40 __测量角度____________________________ 　在一次海上联合作战演习中红方一艘侦察艇发现在北偏东45方向相距的水面上有蓝方一艘小艇正以每小时10 的速度沿南偏东75方向前进若红方侦察艇以每小时14 的速度沿北偏东45＋α [解]　如图设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇 则AC＝14x＝10 x＝120 根据余弦定理得 (14x)＝12＋(10x)－240x 解得x＝2. 故AC＝28＝20. 根据正弦定理得＝ 解得＝＝ 所以红方侦察艇所需要的时间为2小时角α的正弦值为 [规律方法