全等三角形作辅助线经典例题资料.doc

全等三角形作辅助线经典例题 常见辅助线的作法有以下几种： 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”；（遇垂线及角平分线时延长垂线段，构造等腰三角形） 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答． 一、倍长中线（线段）造全等 1：已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________. 2：如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 3：如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. 中考应用 1、以的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．（1）如图① 当为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ； （2）将图①中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转(090)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由． 二、截长补短 1.如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CD⊥AC 2：如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC 3：如图，已知在内，，，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP 4：如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分，求证： 5:如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC 6．如图，在ABC中，AD平分BAC，AB+BD=AC，求B∶∠C的值． 中考应用： 三.借助角平分线造全等 1：如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交 于点O，求证：OE=OD 2：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长. 中考应用: 1、如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系； （2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。 四、平移变换 1.AD为△ABC的角平分线，直线MN⊥AD于A.E为MN上一点，△ABC周长记为，△EBC周长记为.求证＞. 2：如图，在△ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+ACAD+AE. 五、旋转 1：正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数. 2：D为等腰斜边AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。 （1）当绕点D转动时，求证DE=DF。 （2）若AB=2，求四边形DECF的面积。 3.如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为 ； 中考应用： 1、已知四边形中，，，，：，，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于．（1）当绕点旋转到时（如图1），易证．（2）当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． 2、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N