余弦定理余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理.doc

余弦定理 余弦定理是揭示三角形边角关系的重要定理，直接运用它可解决一类已知三角形两边及夹角求第三边或者是已知三个边求角的问题，若对余弦定理加以变形并适当移于其它知识，则使用起来更为方便、灵活。该图中，a与b应互换位置 对于任意三角形 三边为a,b,c 三角为A,B,C 满足性质 a^2=b^2+c^2-2*b*c*CosA b^2=a^2+c^2-2*a*c*CosB c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC CosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab CosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac CosA=(c^2+b^2-a^2)/2bc 证明： ∵如图，有a→+b→=c→ ∴c·c=(a+b)·(a+b) ∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|Cos(π-θ) 整理得到c^2=a^2+b^2-2|a||b|Cosθ（注意：这里用到了三角函数公式） 再拆开，得c^2=a^2+b^2-2*a*b*CosC 同理可证其他，而下面的CosC=(c^2-b^2-a^2)/2ab就是将CosC移到左边表示一下。 --------------------------------------------------------------------------------------------------------------- 平面几何证法： 在任意△ABC中 做AD⊥BC. ∠C所对的边为c，∠B所对的边为b，∠A所对的边为a 则有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根据勾股定理可得： AC^2=AD^2+DC^2 b^2=(sinB*c)^2+(a-cosB*c)^2 b^2=sin^2B*c^2+a^2+cos^2B*c^2-2ac*cosB b^2=(sin^2B+cos^2B)*c^2-2ac*cosB+a^2 b^2=c^2+a^2-2ac*cosB cosB=(c^2+a^2-b^2)/2ac 从余弦定理和余弦函数的性质可以看出，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角一定是直角，如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角，如果大于第三边，那么第三边所对的角是锐角。即，利用余弦定理，可以判断三角形形状。同时，还可以用余弦定理求三角形边长取值范围。 注：a^2；b^2；c^2就是a的2次方、b的2次方、c的2次方；a*b、a*c就是a乘b、a乘c 。 特殊角0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°的正切值、正弦值、余弦值各为多少?0度正弦值0，余弦值1，正切值0。30度正弦值1/2，余弦值根3/2，正切值根3/3。45度正弦值根2/2，余弦值根2/2，正切值1。60度正弦值根3/2，余弦值1/2，正切值根3。90度正弦值1，余弦值0，正切值不存在。120度正弦值根3/2，余弦值-1/2，正切值-根3。135度正弦值根2/2，余弦值-根2/2，正切值-1。150度正弦值1/2，余弦值-根3/2，正切值-根3/3。180度正弦值0，余弦值-1，正切值0。270度正弦值-1，余弦值0，正切值不存在。360度正弦值余弦值正切值同0度 一. 教学内容： 正余弦定理解三角形 二. 重点、难点： 已知三角形三边长及三个角，求其余相关的量。 （1）高线（面积） （2）中线（余弦定理） （3）角分线（余弦定理或正弦定理） （4）面积（公式） （5）周长 （6）外接圆半径（正弦定理） （7）内切圆半径（面积） 【典型例题】 [例1] 已知△ABC中，，， 求（1）角A；（2）高AH；（3）中线AD；（4）角平分线AE；（5）外接圆半径；（6）内切圆半径。 解：（1） （2） （3） （4） ∴ （5） （6） [例2] △ ABC中，，，，求内切圆半径。 解： （1） （2） [例3] △ABC中，，，，求。 解： ∴ ∴ [例4] △ABC中，，，求△ABC的最大角。 解： ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ [例5] 在△ABC中，求证： 证明： 由正弦定理得 ∴ [例6] 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是，若，，求的长度。 解：∵ ∴ 于是或 又∵ 当时，，； 当时，， ∴ 的长度为或 [例7] （06年辽宁卷）△ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为，设向量，，若，则角C的大小为（ ） A. B. C. D. 解：∵ ∴ 即 根