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淋雨数学建模 摘要：本文通过对人在雨中直线行走时雨垂直降落、从前吹来、从后吹来这三种情况的分析讨论，得到了在不同情况下淋雨总量与人的行走速度的数学模型。并发现，当雨垂直落下和迎面吹来时，跑的速度越快淋雨越少；而当雨从背面吹来时，当人跑的速度大于等于雨速的水平分量的大小且此时夹角满足时，跑得越快淋雨越少，除此之外的其它情况下有当时，淋雨量最小。 关键词：淋雨 直线行走 一 问题重述 人在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变。试建立数学模型讨论是否跑得越快，淋雨量越少，并用MATLAB编程实现。 假设跑步距离d=100米，跑步最大速度为=5 m/s，雨速u=4m/s，降雨量为w=2cm/h。 （1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的淋雨量。 （2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，且与人体夹角为,问跑步速度v为多大？淋雨量最少。 二 问题的分析 人在雨中行走时可能出现以下三种情形： 情形一：雨垂直下落，人以速度v前行，此时降雨淋遍全身（如图1所示） 图 1 情形二：雨迎面吹来，雨线与跑步方向在同一平面内，与人的正面夹角为，此时后背淋不到雨（如图2所示） 图2 情形三：雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一平面内，与人的背后夹角为α，此时正面淋不到雨（如图3所示） 图 3 我们知道当人在雨中前行的时候，人和雨相对地面都是运动的，故知人与雨是相对运动的。为此我们选择人作为参考系，再考虑雨的相对速度及其与人体方向（即与人体夹角、α）对总淋雨量的影响。 三 合理的假设 3.1 将人体看成一个长方体； 3.2 雨速为常数且方向不变； 3.3 降雨量为一定值； 3.4 考虑雨的方向与人体前进的方向在同一平面内； 3.5 符号的假定: a: 身高（颈部以下） b: 身宽 c: 身厚 d: 跑步距离 v: 跑步速度 : 跑步最大速度 w: 降雨量 u: 雨速 Q: 总淋雨量 : 雨迎面吹来与人的夹角 : 雨背面吹来与人的夹角 s：有效淋雨面积 ：以人为参考系时的相对雨速 四 模型的建立 我们先考虑如下情形，现有一块土地面积为s，雨垂直降落，雨速及方向不变，且降雨量为一常数w ，则有时间t内该土地的淋雨量为 。若雨速发生变化，则降雨量也会相对发生改变，设雨速从u变为，则降雨量相对变化为，从而可求得此时的淋雨量为 。若雨速不变，降雨的方向发生改变，设其与原方向的夹角为，那么此时的淋雨量为 。类似我们可以求得在问题分析中出现的三种情况下人体的总淋雨量如下： 4.1当雨垂直降落时 有效淋雨面积： 淋雨时间： 总淋雨量 （1） 4.2 当雨迎面吹来时 由假设3.4我们知道，当雨迎面吹来时，只有顶部和人体的迎面部分为有效淋雨面积，记顶部面积为，迎面部分面积为，则，分别计算其淋雨量如下： 淋雨时间： 雨速垂直分量： 雨速水平分量：，且方向与相反，故相对雨速= 顶部淋雨量： 迎面淋雨量： 所以总的淋雨量为： （2） 4.3当雨从背面吹来时 同理，当雨从背面吹来时，只有顶部和人体的背面部分为有效淋雨面积，记顶部面积为，背面部分面积为，则，分别计算其淋雨量如下： 淋雨时间： 雨速垂直分量： 雨速水平分量：，方向与相同，故相对雨速= 顶部淋雨量： 背面的淋雨量： 总淋雨量为： （3） 五 模型的求解 运用数学分析中求函数最值的知识，对于以上所建的模型我们求解得到不同情况下人的淋雨量Q与行走速度v的具体关系如下： 5.1当雨垂直降落时 由（1）式知总淋雨量，易知 v越大，Q值越小，故此时跑得越快，所淋到的雨量越少。即：当时，最小； 5.2当雨迎面吹来时 对（2）式关于v求导可得：，故Ｑ关于v是单调递减函数，故此种情况下，当时，最小； 5.3当雨从背面吹来时 对（3）式，分以下两种情况讨论如下： 此时对（a）式关于v求导可得 ，可知v越大，淋雨量越小，又因为，故知当时，Q最小； 当，对（b）关于v求导，故Ｑ关于v是单调递减函数，同样可得，当时，最小； 当，对（b）关于v求导，故Ｑ关于v是单调递增函数，又，故时，最小。 六 结果分析 由上面的求解过程我们可看出，当雨垂直落下和迎面吹来时，跑的速度越快淋雨越少；而当雨从背面吹来时，当人跑的速度大于等于雨速的水平分量的大小且此时夹角满足时，跑得越快淋雨越少，除此之外的其它情况下有当时，淋雨量最小。 七 模型的检验 现给出数据如下：