分数运算的技巧小学数学奥林匹克竞赛辅导讲座.doc

小学数学奥林匹克竞赛辅导讲座——分数运算的技巧 　　分数的四则混合运算，与整数四则混合运算一样，按先乘除后加减有顺序进行，整数四则混合运算中的定律和性质，在分数运算中同样适用。但是，要提高分数运算的速度和正确率，除了掌握这些常规的运算法则外，我们还应该掌握一些特殊的运算技能和技巧，常用的分数运算技巧和方法，主要有凑整法、裂项法、约分法等。 　　【例1】计算2002× 　　［分析］本题可以按照整数乘以分数的计算法则计算，但这样做很显然比较麻烦，可以根据题中数的特点，合理灵活地选择计算方法，把题目中的因数拆成两数和或两数差的形式。 　　［解］方法—：2002× ＝2002×（1－ ） 　　　　　　　　　　　　　　 ＝2002×1－2002× 　　　　　　　　　　　　　　 ＝2002－1 　　方法二：2002× ＝（2001＋1）× 　　　　　　　　　　　 ＝2001× ＋1× 　　　　　　　　　　　 ＝2000 　　点评：在一些分数乘法计算中，可根据数字的特点，合理地把参加运算的数拆成两数和或两数差的形式，在拆数时要注意：一要使参加运算的数变形不变值，二要达到便于简化计算目的。 　　【例2】计算3 ×25 ＋37.9×6 　　［分析］注意观察3 和6 ，它们的和为10，但是，只有当分别与它们相乘的另一个因数相同时，才能运用乘法分配律来进行简算，因此不难想到把37.9分拆成25.4和12.5两部分。当12.5与6.4相乘时，又可以将6.4看成8×0.8，这样计算就简便多了。 　　［解］3×25＋37.9＋6 　　＝3＋25＋（25.4＋12.5）×6.4 　　＝3.6×25.4＋25.4×6.4＋12.5×6.4 　　＝（3.6＋6.4）×25.4＋12.5×8×0.8 　　＝254＋85 　　＝334 　　点评：有时可以结合题中数字可以凑整的特点，来对数进行合理的分拆。 　　【例3】 × 　　［分析］可以发现181818，818181都是两位数连写三遍得到的六位数，所以分别有约数18与81，同样，218218和182182分别有约数218与182，所以先把各分子、分母写成乘积的形式，把相同因数约分后再计算。 　　［解］ × ＝ × 　　　＝ 　　　＝ 　　点评：本题所用的方法为约分法，可以把分子分母中相同的因数通过约分来化简运算。同样，如果分子分母含有相同的因式，也可把它直接约去进行化简。 　　【例4】计算 ＋ ＋ ＋ ＋……＋ 　　［分析］本题中的加数很多，如果按先通分后计算，显然很麻烦且不易算出正确结果。那么除了常规方法，还有没有简单的方法呢？先来析一下： 　　 ＝ ＝ － ＝ － 　　 ＝ ＝ － ＝ － 　　 ＝ ＝ － ＝ － 　　 ＝ ＝ － ＝ － 　　………… 　　由此不难得出如下解法。 　　［解］ ＋ ＋ ＋ ＋……＋ 　　＝ － ＋ － ＋ － ＋ － ＋……＋ － 　　＝1－ 　　＝ 　　点评：如果把分数加法中的一些分数适当拆开，使得拆开后的一些分数在运算过程中，可以互相抵消，则可大大简便运算，这种思维方法叫做拆项相消法或裂项法。一般地，分数拆项主要有以下几种形式： 　　（1）分母为两个相邻自然数时： ＝ － 　　（2）分母为不相邻自然数时（差为a）： ＝（ － ）× 　　（3）分母为三个相邻自然数时： ＋ ×（ － ） 　　【例5】计算1－ ＋ － ＋ － ＋ － ＋ 　　［分析］此题形式略有变化，认真审题可以发现以下规律： 　　（1）运算符号按加，减，加，减……有序排列 　　（2）每个分数分母是两个连续自然数的积，分子是它们的和因而可以这样拆开： 　　 ＝ ＝ ＋ ＝ ＋ 　　 ＝ ＝ ＋ ＝ ＋ 　　 ＝ ＝ ＋ ＝ ＋ 　　………… 　　［解］1－ ＋ － ＋ － ＋ － ＋ 　　＝1－（ ＋ ）＋（ ＋ ）－（ ＋ ）＋（ ＋ ）－……＋（ ＋ ） 　　＝1－ － ＋ ＋ － － ＋ ＋ ……＋ － 　　＝1－ ＋ 　　＝ 　　小结：看起来很复杂的分数计算题，如果用常规的方法去做，肯定是非常麻烦的，而且也难免做错。当我们通过观察，掌握了算式的特点，运用一些特殊的方法和技巧，就能使计算既巧妙又正确，化难为易，化繁为简。当然，这里介绍的方法是很有限的，希望大家能灵活运用，同时发现和找到更多的解题方法，从而提高自己分析问题，解决问题的能力。 　　［练习］ 　　（1）2002÷2002 　　（2）73× ＋ ×75 　　（3） 　　（4） ＋ ＋ ＋ ＋ 　　（5） ＋ ＋ ＋ ＋ 　　（6） － － － － － 　　（7） ＋ ＋ ＋ ＋ 　　（8） ＋ ＋ 　　（9） ＋ ＋ ＋ ＋……＋ ＋ 　　（10）１＋ ＋ ＋……＋