初中二次函数讲解【比较详细】.doc

二次函数讲解814b07d8e30b882633fa1ced.jpg (8.19 KB) 2008-12-10 20:25 定义与定义表达式　　一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a0时，开口方向向上，a0时，开口方向向下。||还可以决定开口大小, ||越大开口就越小, ||越小开口就越大。）则称y为x的二次函数。　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式。　　x是自变量，y是x的函数二次函数的三种表达式　　①一般式：y=ax+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)　　②顶点式[抛物线的顶点 P(h，k) ]：y=a(x-h)+k　　③交点式[仅限于与x轴有交点 A(x1,0) 和 B(x2,0) 的抛物线]：y=a(x-x1)(x-x2)　　以上3种形式可进行如下转化：　　①一般式和顶点式的关系　　对于二次函数y=ax+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b)/4a)，即　　h=-b/2a=(x1+x2)/2　　k=(4ac-b)/4a　　②一般式和交点式的关系　　x1,x2=[-b±√(b-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)二次函数的图像　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x的图像，　　可以看出，二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。抛物线的性质　　1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。　　特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）　　2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b)/4a )　　当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b-4ac=0时，P在x轴上。　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。　　当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。　　|a|越大，则抛物线的开口越小。　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。　　当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；　　当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右。　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点。　　抛物线与y轴交于（0，c）　　6.抛物线与x轴交点个数　　Δ= b-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。　　Δ= b-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。　　Δ= b-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。　　当a0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a；在{x|x-b/2a}上是减函数，在{x|x-b/2a}上是增函数；抛物线的开口向上；函数的值域是{y|y≥4ac-b/4a}相反不变　　当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax+c(a≠0)　　7.定义域：R 　　值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b)/4a，正无穷）；②[t，正无穷） 　　奇偶性：偶函数 　　周期性：无 　　解析式： 　　①y=ax+bx+c[一般式] 　　⑴a≠0 　　⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下； 　　⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b)/4a）； 　　⑷Δ=b-4ac, 　　Δ＞0，图象与x轴交于两点： 　　（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）； 　　Δ＝0，图象与x轴交于一点： 　　（-b/2a，0）； 　　Δ＜0，图象与x轴无交点； 　　②y=a(x-h)+t[配方式] 　　此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b)/4a）；二次函数与一元二次方程　　特别地，二次函数（以下称函数）y=ax+bx+c，　　当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程），　　即ax+bx+c=0　　此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。 　　1．二次函数y=ax，y=a(x-h)，y=a(x-h) +k，y=ax+bx+c(各式中，a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表： 　　解析式 　　y=ax　　y=a(x-h) 　　y=a(x-h)+k 　　y=ax+bx+c 　　顶点坐标 　　(0，0) 　　(h，0) 　　(h，k) 　　(-b/2a，[4ac-b]/4a) 　　对 称 轴 　　x=0 　　x=h 　　x=h 　　x=-b/2a 　　　　当h0时，y=a(x-h)的图象可由抛物线y=ax向右平行移动h个单位得到，　　当h0时，则向左平