大一下册高数习题册答案第9章.doc

第9章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设. 二、求下列函数的定义域： 1、 2、 三、求下列极限： 1、 （0） 2、 () 四、证明极限 不存在. 证明：当沿着x轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着趋于（0，0）时，极限为, 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数 在整个xoy面上连续。 证明：当时，。当时， ，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy面上连续。 六、设且当y=0时，求f(x)及z的表达式. 解：f(x)=，z § 2 偏导数 1、设z= ,验证 证明：， 2、求空间曲线在点（）处切线与y轴正向夹角() 3、设, 求 ( 1) 4、设, 求 ， ， 解： ， 5、设，证明 : 6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续？是否可导（偏导）？说明理由 连续； 不存在， 7、设函数 f(x,y)在点（a,b）处的偏导数存在，求 （2fx(a,b)） § 3 全微分 1、单选题 （1）二元函数f(x,y)在点(x,y)处连续是它在该点处偏导数存在的 __________ (A) 必要条件而非充分条件 （B）充分条件而非必要条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分又非必要条件 （2）对于二元函数f(x,y)，下列有关偏导数与全微分关系中正确的是___ (A) 偏导数不连续，则全微分必不存在 （B）偏导数连续，则全微分必存在 （C）全微分存在，则偏导数必连续 （D）全微分存在，而偏导数不一定存在 2、求下列函数的全微分： 1） 2） 解： 3） 解： 3、设， 求 解： = 4、设 求： 5、讨论函数在（0，0）点处 的连续性 、偏导数、 可微性 解： 所以在（0，0）点处连续。 ，所以可微。 §4 多元复合函数的求导法则 设，求 解：= 设，求 设， 可微，证明 设，其中具有二阶连续偏导数，求，， 解： , , = , 设，其中具有二阶连续偏导数、具有二阶连续导数，求 解： ， 设，，，求 解：。 7、设，且变换 可把方程=0 化为 ， 其中具有二阶连续偏导数，求常数的值 证明： 得： a=3 8、设函数f(x,y)具有连续的一阶偏导数，f(1,1)=1,, 又， 求 和 (1) , (a+ab+ab2+b3) § 5 隐函数的求导公式 设，求 解：令， 设由方程确定，其中可微，证明 设由方程所确定，其中可微，求 设，求， ( ，) 设由方程所确定，可微，求 解：令 ，则 6、设由方程所确定，求 () 7、设z=z(x,y)由方程 所确定，求, , , § 6 微分法在几何中的应用 求螺旋线 在对应于处的切线及法平面方程 解：切线方程为 法平面方程 求曲线 在（3，4，5）处