第三章poisson过程与更新过程教案分析.ppt

例2.2.1表明,条件Poisson过程不是独立增量的. 定理给出了Poisson过程与非齐次Poisson过程之间的转换关系.实际上, 非齐次Poisson过程不过是”换了一个时钟来计时”的Poisson过程. 张波等,p44例3.7 更新过程最基本的特点是，在每一次更新发生时，过程将来的发展从概率的观点上来讲与原过程的再现相同，因此随机时刻τ n通常称为第次更新的时刻或再生点。 张波等,应用随机过程p57给出了更新方程在人口学中的一个应用. 定理表明在长期运行下平均报酬的极限，等于一个周期内得到的期望报酬除以一个周期的期望时间。 例3.3.2 ：设某个汽车站有A ，B两辆跑同一路线的长途汽车。设到达该站的旅客数是一泊松过程，平均每 10分钟到达15位旅客，而每个旅客进入A车或B车的 概率分别为2/3与1/3。试求进入A车与进入B车的旅 客数的概率分布。 解：由平均10分钟内到达车站15位旅客知，到达旅 客的强度=15/10=1.5（人/分）故在[0,t)时段内进入 该汽车站的旅客数N(t)的分布为 由定理3.3.2知，在[0,t)时段内进入A车的旅客数 也是一个泊松过程，且其强度为p=1.5*(2/3)=1（人/ 分）。因此 同理进入B车的旅客数 也是一个泊松过程且有 3.4 Poission过程的推广 * (3) 若 , 则 定理3.4.1 (1){X(t), t?0}是平稳独立增量过程; (2)其特征函数为 定义3.4.1 设{N(t),t?0}为强度为λ Poission过程, {Yi, i?1} 是独立同分布的随机变量序列, 且 {Yi, i?1}与{N(t), t?0} 独立, 记 称{X(t), t?0}为复合Poission过程(compound poisson processes). * 例3.4.1 设保险公司在[0,t]时段内接到的索赔次数N(t)形成强度为λ的Poisson流, 且设保险公司第i次赔偿额是Yi, {Yi, i=1,2,…} 独立同正态分布 , 则每月要付出的赔偿额服从什么分布？一年中它要付出的平均金额是多少? 解：[0，t]内赔偿额 形成复合Poission过程，每月要付出的赔偿额特征函数为 一年中它要付出的平均金额是 * 条件Poisson过程 定义3.4.2 设Λ是一个正的随机变量, 分布函数为G(x),x?0, 设{N(t),t?0} 是一计数过程, 且当给定Λ=λ时, {N(t),t?0}是一Poisson过程, 即 , 有 称{N(t),t?0} 是条件Poisson过程. 定理3.4.2 设{N(t), t?0}是条件Poisson过程,且 则 (2) E[N(t)]=tEΛ (3) * 例3.4.2 设意外事故的发生频率受某种未知因素影响,有两种可能λ1, λ2, 且 0p1为已知. 且当给定Λ=λi时, [0,t]时段内事故次数N(t)形成一强度为λi Poisson流. 已知到时刻t为止已发生了n 次事故,求[t,t+s]时段内无事故的概率. 解：在Λ=λi的条件下，N(t)是强度为λi 的Poisson流. P{[t,t+s]时段内无事故|N(t)=n} * * 非齐次Poisson过程 当Poisson过程的强度λ随时间t 变化时,Poisson过程被推广成为非齐次Poisson过程. 在实际中,非齐次Poisson过程也是比较常用的.例如在考虑设备故障率时,由于设备使用年限的变化,出故障的可能性会随之变化;放射性物质的衰变速度,会因各种外部条件的变化而随之变化;昆虫产卵的平均数量随年龄和季节的变化而变化等. 定义3.4.3 随机过程{N(t),t?0}称为具有强度函数λ(t) 的非齐次Poisson过程，如果 1）是一计数过程,且N(0)=0 ， 2）具有独立增量性， 3）对任意实数t?0,s0,N(t+s)-N(t)为具有参数 的Poisson分布. * 设某设备的使用期限为10年, 在前5年内它平均2.5年需要维修一次,后5年平均2年需要维修一次.试求它在使用期内只维修过一次的概率 练 习 * 3.5 更新过程 一个计数过程,若它们相邻事件到达时间间隔Tn是指数分布,则此过程为Poisson流. 若是一般分布,则此过程为更新过程(renewal processes). 更新机器零件问题是更新过程的典型例子.某机器上有一个零件是易损件,每当它损