离散数学-图论与关系中有图题目.doc

图论中有图题目 一、 没有一个简单的办法能确定图的色数以及用尽可能少的颜色给图的节点着色。Welch-Powell给出了一个使颜色数尽可能少（不一定最少）的结点着色方法，在实际使用中比较有效： 第1步、 将图的结点按度数的非增顺序排列；第2步、用第1种颜色给第1个结点着色，并按照结点排列顺序，用同一种颜色给每个与前面已着色的结点不邻接的结点着色；第3步、换一种颜色对尚未着色的结点按上述方法着色，如此下去，直到所有结点全部着色为止。 例1 分别求右面两图的色数 （1）由于（1）中图G中无奇数长的基本回路，由定理可知。 （2）由于（2）中图G含子图轮图，由于，故。又因为此图的最大度，G不是完全图，也不是奇数长的基本回路，由定理可知，因而。（对阶轮图，为奇数时有，为偶数时有；对阶零图，有；完全图，有；对于二部图时即，时即；在彼得森图G中，存在奇数长的基本回路，因而，又彼得森图既不是完全图也不是长度为奇数的基本回路，且，由定理，故） 例2 给右边三个图的顶点正常着色，每个图至少需要几种颜色。 答案：（1）；（2）；（3） 例3 有8种化学品A,B,C,D,P,R,S,T要放进贮藏室保管。出于安全原因，下列各组药品不能贮在同一个室内：A-R, A-C, A-T, R-P, P-S, S-T, T-B, B-D, D-C, R-S, R-B, P-D, S-C ,S-D，问贮藏这8种药品至少需要多少个房间？ 解 以8种药品作为结点，若两种药品不能贮在同一个室内，则它们之间有一条边，这样得右图，转化为图的正常着色问题。（1）对各结点按度数的递减顺序排列为SRDPCTAB；（2）对S及不与之相邻点A，B着色；（3）对R及不与之相邻点D着色；（4）对P和C着色。故着色数；又因为因S,D,P为子图，故着色数，从而。因此贮藏这8种药品至少需要3个房间。贮藏方式之一为SAB, RDT, PC。 (考试排考或老师排课让选修的学生避免冲突的问题类似处理！) 二、强连通一定单向连通，单向连通一定弱连通！ 三、 1、设G为无向欧拉图，求G中一条欧拉回路的Fleury算法如下：第1步，任取G中的一个结点，令；第2步，假设已选好，按下面方法从中选：（1）与相关联，（2）除非无别的边可供选择，否则不应该是的断边；第3步，当第2步不能执行时，算法停止。 （有向欧拉图的欧拉回路可类似求出，可用于解决邮路问题） 邮路问题用图论的概念描述如下：在一个带权图G中，怎样找到一条回路C，使得C包含G中的每一条边至少一次，而且回路C具有最小权。C分以下三种情况：（1）如果G是欧拉图，必定有欧拉回路，C即可找到；（2）如果G是具有从到的欧拉通路的半欧拉图，C的构造如下：找到从到的欧拉通路及到的最小权通路（即最短路径）--这两条通路和并在一起就是最小权回路；（3）如果G不是半欧拉图，一般说来，G中包含多条边的回路，其中夫的边数与奇数结点数目有关，若奇数结点多于2，则回路中会出现更多的重复的边。问题是怎样使重复边的权综合最小。在理论上已证明：一条包括G的所有边的回路C具有最小权当且仅当：（1，每条边最多重复一次，（2，在G的每个回路上，有重复边的权之和小于回路权的一半。 例：求右图所示的带权图中最优投递路线，邮局在D点。 解 先观察奇度结点，此图中有E,F两个。用标号法求出其间最短路径EGF，其权为28。然后将最短路径上的边重复一次，于是得欧拉图，求从D出的一条欧拉回路，如DEGFGEBACBDCFD，其权为281=35+8+20+20+8+40+50+30+19+6+12+10+23。 2、求接近最小权哈密顿回路的“最邻近”算法：设是有个顶点的无向完全图，（1）任取作为始点，令L为，；（2）令，置。置；（3）若，转（2）；（4）置，结束。（可近似解决货郎担问题） 例1 用最邻近算法求下图的最短哈密尔顿回路。 所得长度为14+6+5+5+7=37，与最短7+8+5+10+6=36很接近了！ 例2 求下图的最短哈密尔顿回路。 三条比较，最小权为47。 例3 已知A,B,C,D,E,F,G7个人中，A会讲英语，B会讲英语和汉语，C会讲英语、意大利语和俄语，D会讲日语和汉语，E会讲意大利语和德语，F会讲俄语，G会讲俄语、日语和法语。能否将他们的座位安排在圆桌旁，使得每个人都能与他身边的人交谈？ （按哈密尔顿回路安排就是了！） 例4 11个学生要共进晚餐，他们将坐成一个圆桌，计划要求每次晚餐上每个学生有完全不同的邻座，这样能攻进晚餐几天？（共有条边，每条哈密尔顿回路有11条边，因而共有5条没有公共边的哈密尔顿回路，可吃5天！分别用2，3，4，5与11互素，以它们为步长能找到！） 半哈密顿图与哈密顿图补例： 补充内容： 设G是无向完全图，若对G的每条边指定一个方向，所得的图称为竞赛图。证明