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第13讲 面积问题和面积方法 知识方法扫描 面积问题指用面积公式计算常规的平面图形的面积，且能用割补法和等积变形求较复杂图形的面积面积法通指运用面积关系求解一些几何题。 凡涉及三角形的高、垂线的问题，都可以尝试面积法例1（第14届“迎春杯”数学竞赛试题） 如图, 在平行四边形ABCD中, EG与BC平行, HF与AB平行, EG和HF相交于O, 如果平行四边形EBFO的面积为2cm2, 平行四边形OGDH的面积为4cm2, 那么三角形OAC的面积等于 cm2. 解：设S平行四边形AEOH＝a, S平行四边形OFCG＝b, 则 例 (1997年“希望杯”初中数学邀请赛试题)如图所示，△ABC中，点P在边AB上，AP＝AB，Q点在边BC上，BQ＝；R在边CA上，CR＝CA，已知阴影△PQR的面积是19cm2，那么△ABC的面积是 cm2. 解 连接CP, BR， , ,. ∴ 同理 S△PQR=S△ABC – (S△ABC+S△ABC+S△ABC) =S△ABC S△ABC=S△PQR=×19=45.6(cm2). 评注 由本题的解题过程 ，可得 ，这是一个有用的结论 ，它说明有等角的两个三角形的面积之比，等于夹这个角的两边乘积之比。 例（2006年第17届“希望杯”数学邀请赛初一试题） 如图所示，三角形ABC的面积为1，E是AC的中点，O是BE的中点，连结AO并延长交于，连结CO并延长交AB于F，求四边形BDOF的面积。 因AE=EC, BO=OE, 故 S△AOB=S△AOE=S△COE, 又显然有S△AOB=S△BOC 故它们的面积都等于。 注意到 ,可知， ∴S△DOB=， 同理S△OFD=, 于是四边形BDOF的面积+=。 评注 在本题这样的图形中，是一个有用的结论 ，它是通过线段的比与线段的比的关系得到的，这是处理面积问题的一个重要的方法。 例．(2002年第13届希望杯数学邀请赛试题) △ABC的面积是1平方厘米，如图所示，AD=DE=EC，BG=GF=FC，求阴影四边形的面积。 △BNG=x，则S△CNG=2x，S△CNB=3x，因S△ABN ：S△CNB = AE：EC=2：1，故S△ABN=6x，S△ABG=7x，于是7x=，x=。 下面计算三角形BPF的面积：连结CP，设S△CPF=y，则S△BPF=2y，S△CPB=3y，因S△ABP ：S△CPB = AE：EC=2：1，故S△ABP=6y，S△ABF=8y，于是8y=，y=。 SPNGF=2y-x=（cm2） 例5（1993年第10届“缙云杯”数学竞赛试题） 如图．已知梯形ABCD的面积为34 cm2，AE=BF，CE与DF相交于O，三角形△OCD的面积为11cm2，求蝶形（图中阴影部分）的面积。 解：如下图将梯形扩大一倍补成一个平行四边形 显然S△EDO=S△FMP，S△CDO =S△MNP，S△CDE=S△MNF. 设蝶形的面积为xcm2 由SABCD=SNMCD= S△MNF +S△CDF=S△CDE +S△CDF知 34=x+2×11, 解得 x=12. 即蝶形的面积为12cm2 评注：“补形”和“分割”是处理面积问题的两种常见的方法。 例6 （第三届“希望杯”试题）正方形如图所示, AB＝1, BD与AC都以1为半径的圆弧, 则无阴影的两部分的面积之差是( )A) (B)1- (C) (D)1－ 解 设无阴影的两部分的面积分别为PQ，有阴影的两部分的面积都为M. 则P＋Q＋2M正好是正方形的面积，P＋M是圆的面积，于是得方程组 由②，得2P＋2M＝③ ③①，得PQ＝。 ∴无阴影的两部分的面积之差是。故选A。 从方程组无法求得P、Q的值，但经过方程式的整体变形可以求得P－Q ＝，这。例7(1996年上海市初中数学竞赛试题) 如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，＝，点M在边AB上，使，点N在边CD上，使线段MN把梯形分成两部分的面积之比为3：1，求. 解 连接CM、CA. ∵,∴.∴.∵, ∴＝2, ∴S△ABC＝S梯形ABCD. ∴SMBC＝S△ABC＝S梯形ABCD＞ S梯形ABCD. ∴MN把梯形分成两部分的面积的比, 只能是 也就是S四边形MBCN＝S梯形ABCD, S四边形AMND＝ S梯形ABCD. 若连结DM、DB，用同样的方法求得 S△AMD＝S△ABD＝×S梯形ABCD＝S梯形ABCD. ∴S△MCN＝(－) S梯形ABCD＝S梯形ABCD, ∴S△MDN＝(－) S梯形ABCD＝S梯形ABCD. ∴. 评注 这道题首先应该考虑MN把梯形分成两部分的面积之比是＝还是＝，还是两者都有可能，因此求出S△MBC＝S梯形ABCD，从而排除了＝