第2章弹性力学平面问题有限单元法(1-3节).doc

第二章 弹性力学平面问题有限单元法 §2-1 三角形单元(triangular Element) 三角形单元是有限元分析中的常见单元形式之一，它的优点是: ①对边界形状的适应性较好，②单刚形式及其推导比较简单,故首先介绍之。 一、结点位移和结点力列阵 设右图为从某一结构中取出的一典型三角形单元。 在平面应力问题中，单元的每个结点上有沿x、y两个方向的力和位移，单元的结点位移列阵规定为： 相应结点力列阵为: (式2-1-1) 二、单元位移函数和形状函数 前已述及，有限单元法是一种近似方法，在单元分析中，首先要求假定（构造）一组在单元内有定义的位移函数作为近似计算的基础。即以结点位移为已知量，假定一个能表示单元内部（包括边界）任意点位移变化规律的函数。 构造位移函数的方法是：以结点(i,j,m)为定点。以位移(ui ,vi ,…um vm )为定点上的函数值，利用普通的函数插值法构造出一个单元位移函数。 在平面应力问题中，有u,v两个方向的位移,若假定单元位移函数是线性的,则可表示成: 　 　(2-1-2)a 式中的6个待定常数α1 ,…, α6 可由已知的6个结点位移分量(3个结点的坐标)确定。将3个结点坐标(xi,yi ),(xj,yj ),(xm,ym )代入上式得如下两组线性方程: (a) 和 (b) 利用线性代数中解方程组的克来姆法则,由(a)可解出待定常数 、 、 : 式中行列式: A为△ijm的面积,只要A不为0,则可由上式解出: （C） 式中: （d） 为了书写方便，可将上式记为: 表示按顺序调换下标,即代表采用i,j,m作轮换的方式便可得到(d)式。 将(c)式代入2-1-2中,整理后可得: 同理: （2-1-2）b 式中: (2-1-3) 将三角形单元的位移函数用矩阵表示： 或： 三、单元的应变和应力 １、应变──几何矩阵[B] 由弹性力学知,弹性力学平面问题的几何方程： ； ； 用矩阵表示 或， (2-1-5) [H]称为微分符矩阵,又称为微分算子,“[H]{f}”实际上不是一般的矩阵乘,可以称为微分符矩阵[H]作用在{f}上,其作用规律符合矩阵乘积规定，实际上是按[H]对{f}求导。 将2-1-4式的{f}=[N]{d}代入: {ε}=[H][N]{d}=[B]{d} 2-1-6 式中: 称为几何矩阵，对于上述三角形单元，[B]是常量矩阵,因此常把这种三角形单元称为常应变单元 ２、应力矩阵[S] 由弹性力学知,由应力求应变的物理方程是: 由上式解出应力,得到由应变表示应力的物理方程: 用矩阵表示: 2-1-8 称为弹性矩阵。 将2-1-6式{ε}=[B]{d}代入上式得: 2-1-9 式中: 2-1-10 上式称为应力矩阵,是结点位移与应力之间的关系矩阵,在上述三角形单元中它也是一个常量矩阵(常应力单元)。 四、单元刚度矩阵 有了几何矩阵[B]和弹性矩阵[D]后,我们便可将其代入在§1-3中推导出的单元刚度矩阵的一般表达式: 对于平面问题，积分，是单元的厚度，并假定t在单元内不变化(常数)，所以三角形单元的单刚: 积分式内的两个矩阵都是常量,矩阵乘后,积分得三角形单元的 单元刚度矩阵： 2-1-11 子块: (r,s=i,j,m) 上式常称为各向同性常应变单刚(stiffness matrix for isotropic constant strain triangle