第4章矩阵.doc

矩阵（6课时） 教学目标 1、掌握矩阵的加法、数乘、转置等运算的及计算规律。 2、掌握矩阵乘积的行列式定理，矩阵乘积的秩与它的因子的秩的关系。 3、正确理解和掌握可逆矩阵、逆矩阵、伴随矩阵等概念，掌握一个阶方阵可逆的充要条件和用公式法求一个矩阵的逆矩阵。 4、理解分块矩阵的意义、掌握分块矩阵的加法、乘法、转置的运算及性质。 5、正确理解和掌握初等矩阵、初等变换等概念及其它们之间的关系，熟练掌握一个矩阵的等价标准形和矩阵可逆的充要条件；会用初等变换的方法求一个方阵的逆矩阵。 6、理解分块乘法的初等变换和广义初等矩阵的关系，会求分块矩阵的逆。 二、教学内容： 1、矩阵的概念；矩阵的运算；矩阵乘积的行列式与秩。 2、矩阵的逆；矩阵的分块；初等矩阵、分块矩阵的初等变换。 三、教学重点：矩阵秩与逆、分块矩阵、分块矩阵的初等变换、矩阵分解。 四、教学难点：矩阵秩与逆、分块矩阵的初等变换、矩阵分解。 五、教学方法：讲授法 六、教学过程 (一)、矩阵运算 1、矩阵的运算：加、减、数乘、乘、逆、行列式、转置； 2、矩阵的逆： 重要公式：； 可逆； 若都可逆且互为可逆； 3、求逆矩阵的方法 公式法：； 初等变换法：； 分块矩阵求逆：设矩阵可逆且 可逆都可逆且 4、伴随矩阵的概念及性质 定义：设阶矩阵，则称矩阵为的伴随矩阵，记为，即，其中是的代数余子式且 性质： ，其中是阶方阵； ； ，其中是常数 5、矩阵方程的解法： (二)、矩阵的秩 1、； 2、，其中矩阵是阶，矩阵是阶，矩阵 是阶； 3、； 4、。 (三)、矩阵的初等变换与初等矩阵 1、初等矩阵的3类：可逆且 2、初等变换不改变矩阵的秩，初等变换不改变行列式的值； 3、矩阵初等变换前后关系：对矩阵经一次行(或列)初等变换相当于在的左(或右)乘以一个对应的初等矩阵。 4、矩阵的等价：经过有限次初等变换化为矩阵初等矩阵，使得可逆矩阵使得。 5、标准形：，则可逆矩阵使得； 可逆与等价其中为初等矩阵。 (四)、分块矩阵 1、在乘法中常见的分块法： 设，则 设，则 设则 设，则 2、分块矩阵的初等变换与初等矩阵 (1)分块矩阵的初等变换 交换分块矩阵的两行(或列)； 用一可逆矩阵左(或右)乘某一行(或列)； 用一可逆矩阵左(或右)乘某一行(或列)加到另一行(或列)； (2)单位分块矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为分块初等矩阵； 常见分块初等矩阵：，其中可逆 (4)对分块矩阵经过一次行(或列)分块初等变换相当于在分块矩阵的左(或右)乘以一个相对应的分块矩阵。 3、分块矩阵的应用： 用分块矩阵证明矩阵秩的问题； 用分块矩阵证明行列式的问题； 常见命题：设是任意两个矩阵，则 (五)、最小多项式 1、零化多项式：，若，则称为的一个零化多项式。 2、特征值与特征向量： 若存在非零向量，数使得，则称为的特征值，为对应的特征向量 令，则为的特征值是的根。 3、哈密尔顿-克莱定理：为的特征多项式，即特征多项式是的的零化多项式。 4、最小多项式：以为根首1的次数最小的零化多项式，称为的最小多项式。 5、常见的命题：设为的最小多项式 设； 的最小多项式唯一存在 ，其中为的特征多项式。 若，则的特征值必为的根； 若与相似，则含有相同的零化多项式、特征多项式及最小多项式； 相似于一对角阵的最小多项式为互素的一次因式的乘积； 若矩阵可逆且其特征值为，则为特征值。 若为的特征值，则 为的特征值 若在中有个特征值，则相似于一个上三角形矩阵 (六)、例题讲解 注：求简单矩阵方幂的方法： 二项式定理展开法；：不完全归纳法 如果阶矩阵可相似对角化，即存在阶可逆矩阵，使得, 其中是对角矩阵，则，从而。-------相似对角阵法 哈密尔顿-克莱法：设为阶矩阵，且是的特征多项式，则。=，其中且 例4.1：设矩阵，证明：，并求。 例4.2：设为阶矩阵，为奇数，，证明：。 例4.3：设，且，证明：。 例4.4：设为阶矩阵，证明：。 例4.5：设为阶可逆矩阵，且的隔行元素之和为，证明： （1）且的各行元素之和为； （2）的各行元素之和为 ； （3）若，求； （4）求的各行元素之和。 例4.6：设是阶矩阵，证明： 例4.7：设是阶矩阵，证明：。 例4.8：设是阶矩阵，， 证明： ，求的解。 例4.9：设是阶矩阵，，求。 例4.10：设是阶矩阵，则。 例4.11：设分别是与阶矩阵，证明： 例4.12：设分别是与矩阵，则。 例4.13：设且是个不同的复数根。 证明：（1） （2） 例4.14：设是阶矩阵，可逆，且，证明： (1) (2) 例4.15：设是阶矩阵，，证明：。