第6章保形映射习题解答.doc

第６章　保形映射习题解答 １．如果单叶解析函数把平面上可求面积的区域映射成平面上的区域，证明的面积是 ． 证明　记，由题设，变量替换 将平面上可求面积的区域保形映射成平面上的区域，且．由数学分析中重积分的变量替换公式，并注意到 有 ． ２．如果函数可求面积的区域内单叶解析，并且满足条件，证明： ． 证明　记区域在单叶解析函数下的象区域为（的面积记为），由题设 ， 从而 ， 所以由第６章习题１得 ． ３．如果函数在解析，并且，证明在的一个邻域内单叶． 证明（方法１）由Talor定理，在的邻域内 ，其中 于是在的邻域内 记，由幂级数的性质 收敛，且 从而由极限的局部保号性，存在，使得在上 下证在内是单叶的． 事实上，由，知，对任意，， 　　 所以在内是单叶的． （方法２）由解析函数的性质，在的某邻域内解析，从而连续．注意到 ， 由连续的定义，存在的邻域：，使得在内 下证在内是单叶的． 事实上，对任意，，取直线段，显然，由复积分的牛顿－莱布尼兹公式，并注意到复积分的不等式性质，有 所以在内是单叶的． （方法３）由第４章习题２１立即可得． ４．如果函数在区域内解析，不为常数，且没有零点，证明不可能在内达到最小值（最小模原理）． 证明　令，由题设及解析函数的四则运算性，也在区域内解析，不为常数．由最大模原理，不可能在内达到最大值，从而不可能在内达到最小值． ５．设在上解析，在圆周上有，并且 其中和是有限正数，证明在内至少有一个零点． 证明（反证法）假设在内没有零点，由第６章习题４，不可能在内达到最小值．又在上解析，从而在上一定达到最小值，再注意到在圆周上有，并且 所以的最小值一定不在上达到，从而的最小值只能在内达到，这与上面得到的不可能在内达到最小值矛盾．故在内至少有一个零点． ６．设在内，解析，并且；但，其中．证明：在内，有不等式 ． 证明　作变换，由分式线性映射的特点，在此分式线性映射下 被保形映射成，且， 于是，的逆映射将 被保形映射成，且． 作辅助函数，则满足： 当时， ． 由Schwarz因理得，当时， 将代入上式得，当时， ． ７．应用施瓦茨（H.A.Schwarz）引理，证明：把变成，且把变成的保形双射一定有下列形状 ， 这里是实常数，是满足的复常数． 证明　显然当保形双射具有形状 时，它一定将变成，且把变成． 下面证明反过来的情形． 设是把变成，且把变成的保形双射．作分式线性映射 ． 由分式线性映射的特点，并注意到保形双射的复合仍为保形双射得 是将变成的保形双射，且，从而逆映射是变成的保形双射，且．于是对和分别运用Schwarz引理得，当，时， ， 于是 从而 ，这里是实常数． 将代入上式得 ． 这里是实常数． ８．试作保形映射： （１）把带形区域映射成上半平面；（２）把去掉上半虚轴的复平面映射成上半平面． 解（１）（方法１） 先作平移映射将带形区域映射成带形区域；再作指数函数映射将带形区域映射成上半平面．复合上面的两个映射即得符合题目要求的保形映射为 ． （方法２）先作指数函数映射将带形区域映射成下半平面；再作旋转映射将下半平面映射成上半平面．复合上面的两个映射也可得符合题目要求的保形映射为 ． （注意：一般来讲两个区域之间的保形映射不一定惟一．要想使保形映射惟一还需要加上其他的条件，参阅关于保形映射的黎曼存在惟一性定理） （２）（方法１）先作旋转映射将去掉上半虚轴的复平面映射成去掉右半实轴的复平面；再作根式函数映射 （是指主值支，即满足的解析分支） 将去掉右半实轴的复平面映射成上半平面．复合上面的两个映射即得符合题目要求的保形映射为 ． 其中是满足的解析分支． （方法２）先作旋转映射将去掉上半虚轴的复平面映射成去掉左半实轴的复平面；再作根式函数映射 （是指主值支，即满足的解析分支） 将去掉左半实轴的复平面映射成右半平面；最后作旋转映射 将右半平面映射成上半平面．复合上面的三个映射即得符合题目要求的保形映射为 ． 其中是满足的解析分支． ９．函数和分别把，及，映射成平面及平面上的什么曲线？这里及与及分别是与的实部及虚部，，，及是实常数． 解　令，代入或并比较实部和虚部得 ， 于是，（ａ）当时， 若，有，（），它表示从原点出发的负半实轴； 若，有，，所以 即 它表示顶点为（在正轴上），焦点为（原点），开口相左，对称轴为轴的抛物线． （ｂ）当时， 若，有，（），它表示从原点出发的正半实轴； 若，有，，所以 即 它表示顶点为（在负轴上），焦点为（原点），开口相右，对称轴为轴的抛物线． （ｃ）当时， 若，有，它表示过原点的两条直线； 若，有，它表示以原点为中心，两条直线为渐近线的双曲线． （注意：其中双曲线的两支分别对应于的两个解析分支） （ｄ）当时， 若，有，它表示过原点的两条直线和； 若，有，它表示以原点为中心，两条直线和