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第三章 第六节 倍角公式和半角公式 题组一 三角函数求值 1.如果α∈(，π)，且sinα＝，那么sin(α＋)＋cos(α＋)＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：∵sinα＝，＜α＜π， ∴cosα＝－，而sin(α＋)＋cos(α＋) ＝sin(α＋)＝cosα＝－. 答案：D 2．已知sin(－α)＝，则cos(＋2α)的值是(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：cos(＋2α)＝－cos(－2α) ＝－cos[2(－α)]＝－[1－2sin2(－α)] ＝－. 答案：A 3．在△ABC中，已知cos(＋A)＝，则cos2A的值为______． 解析：cos(＋A)＝coscosA－sinsinA ＝(cosA－sinA)＝， ∴cosA－sinA＝＞0.① ∴0＜A＜，∴0＜2A＜ 由①两边平方得1－sin2A＝， ∴sin2A＝. ∴cos2A＝＝. 答案： 4．已知函数f(x)＝2sinxcosx＋cos2x. (1)求f()的值； (2)设α∈(0，π)，f()＝，求sinα的值． 解：(1)∵f(x)＝sin2x＋cos2x， ∴f()＝sin＋cos＝1. (2)∵f()＝sinα＋cosα＝. ∴sin(α＋)＝，cos(α＋)＝±. sinα＝sin(α＋－) ＝×－(±)×＝. ∵α∈(0，π)，∴sinα＞0.故sinα＝. 题组二 三角函数式的化简与证明 5.函数y＝2cos2x的一个单调递增区间是(　　) A．(－，) B．(0，) C．(，) D．(，π) 解析：函数y＝2cos2x＝1＋cos2x，它的一个单调递增区间是(，π)． 答案：D 6．化简等于(　　) A．1 B．－1 C．cosα D．－sinα 解析：原式＝ ＝＝＝1. 答案：A 7．求证：tan2x＋＝. 证明：左边＝＋ ＝ ＝ ＝＝ ＝＝ ＝＝ ＝右边． ∴tan2x＋＝. 题组三 三角恒等变换的综合应用 8.若0≤α≤2π，sinα＞cosα，则α的取值范围是(　　) A．(，) B．(，π) C．(，) D．(，) 解析：sinα＞cosα，即sinα－cosα＞0， 即2sin(α－)＞0，即sin(α－)＞0.又0≤α≤2π， 故－≤α－≤. 综上，0＜α－＜π，即＜α＜. 答案：C 9．已知函数f(x)＝(1＋cos2x)·sin2x，x∈R，则f(x)是(　　) A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 解析：f(x)＝(1＋cos2x)sin2x＝2cos2x·sin2x ＝sin22x＝(1－cos4x)． 周期T＝＝，y＝(1－cos4x)是偶函数． 答案：D 10．已知0απ，sinα＋cosα＝，则的值为(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：由sinα＋cosα＝得， 1＋2sinαcosα＝， 所以sinαcosα＝－， 可解得sinα＝，cosα＝， ∴＝＝－. 答案：B 11．已知函数f(x)＝2sin2(＋x)－cos2x，x∈[，]． (1)求f(x)的最大值和最小值； (2)若不等式|f(x)－m|2在x∈[，]上恒成立，求实数m的取值范围． 解：(1)f(x)＝[1－cos(＋2x)]－cos2x ＝1＋sin2x－cos2x＝1＋2sin(2x－)， 又∵x∈[，]，∴≤2x－≤， ∴≤sin(2x－)≤1，即2≤1＋2sin(2x－)≤3. ∴f(x)max＝3，f(x)min＝2. (2)∵|f(x)－m|2 f(x)－2mf(x)＋2(≤x≤)． ∴mf(x)max－2且mf(x)min＋2， ∴1m4，即m的取值范围是(1,4)． 12．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－＜φ＜)一个周期的图象如图所示． (1)求函数f(x)的表达式； (2)若f(α)＋f(α－)＝，且α为△ABC的一个内角，求sinα＋cosα的值． 解：(1)从图知，函数的最大值为1，则A＝1. 函数f(x)的周期为T＝4×(＋)＝π. 而T＝，则ω＝2.又x＝－时，y＝0， ∴sin[2×(－)＋φ]＝0. 而－＜φ＜，则φ＝， ∴函数f(x)的表达式为f(x)＝sin(2x＋)． (2)由f(α)＋f(α－)＝，得 sin(2α＋)＋sin(2α－)＝， 即2sin2αcos＝，∴2sinαcosα＝. ∴(sinα＋cosα)2＝1＋＝. ∵2sinαcosα＝＞0，α为△ABC的内角， ∴sinα＞0，cosα＞0，即sinα＋cosα＞0. ∴sinα＋cosα＝.