第五章基于MATLAB的科学计算—插值方法.doc

多项式函数与函数的最佳逼近 §1　Interpolation (插值) １、问题的提出 在工程地质测量、机械设计及其制造、信号分析等实践中，经常回遇到曲线的描绘或函数的确定问题，平面上的曲线方程可写成如下的形式 　　　　　　　　　　　　　　（１） 一般情况下，人们能够知道的或者说能够得到的只是曲线上的若干点，如通过测量可以得到曲线上 　　　　　　　　　　　　（２） 的个点，由于信息不全，这个点不足以确定其所在的曲线，因而人们退一步地希望在充分利用这些数据的前提下，确定一条“简单的”且与未知曲线 “最接近”的曲线；此外，在科学研究和计算中，往往回遇到复杂函数的分析与计算，有时用简单的函数来代替，可能会去掉不必要的麻烦而使问题比较容易地得到解决。 只需对自变量做加、减法和乘法运算就能得到函数值是多项式函数显著的特点之一，因此，从计算的角度来说多项式函数是最简单的，因此，在函数最佳逼近方面，“简单的函数（曲线）”指的就是多项式函数（类）； 　　所谓“最接近”或者严格地说最佳逼近，就是从指定的一类简单的函数中寻找一个和给定的函数“最贴近”的函数，从几何（空间）的角度看，函数最佳逼近就是从指定的一类简单的函数（点的集合）中寻找一个和给定的函数（定点）之间距离最短的函数（点）。函数空间中不同的距离度量确定了不同的逼近准则，不同的逼近准则定义了不同的函数最佳逼近。 　　在插值问题中，最基本的逼近准则是：在已知的全部点处，简单函数（插值多项式）与未知函数的函数值相等，即 　　　　　　　　　（３） ２、关于插值问题的基本定理 定理： 给定个曲线上点，如果，互不相同，那么，在所有次数不超过次的多项式函数中，存在唯一的多项式函数，满足条件（３）。 证明： 次数不超过的多项式可写成 　　　　　　　　　　　（４） 的形式，要证明在所有次数不超过次的多项式函数中，存在唯一的多项式函数，满足条件（３），等价与证明线性方程组 　　　　　　（５） 即 　　　　　　　　　　　（６） 有唯一解，线性方程组（６）有唯一解的充分必要条件是系数矩阵满秩，因为方程组（６）的系数矩阵是Vandomonder矩阵，满秩的充分必要条件是，互不相同，因此，当，互不相同时，存在唯一的次数不超过次的多项式满足条件（３）。 ３、构造插值多项式的方法 １）一点说明 可以通过解线性方程组（６），得到插值多项式（４）的系数，，但是方程组的“状态”不一定好！ ２）拉格朗日（Lagrange）插值法 （１）首先考虑两个点的情况，求直线方程（即一次多项式）. 点斜式直线方程：. 两点对称式直线方程：. 由两点式可知，是由两个线性函数 的线性组合得到.这两个线性函数称为插值基函数，其性质为： . （２）考虑三个点的情况，求二次曲线方程（即二次多项式）. 为了求出的表达式，可采用基函数方法，此时基函数、及是二次函数，且在节点上满足条件： . （5.5） 满足条件（5.5）的插值基函数很容易求出，例如求，因为它有两个零点及，故可表示为，其中待定，可由条件确定. 于是，.同理可求得及.因此，得抛物插值 . 进而，对于一般个点的情况，求次曲线方程（即次多项式）. （3）构造插值多项式的基函数 　　　（７） （4）拉格朗日插值多项式 　　　　　　　　　　　　（８） （5）简单的证明 因为拉格朗日插值多项式的基函数有如下的性质： 　　　　（９） 所以拉格朗日插值多项式 　　　　（１０） 满足插值的条件。 例1 已知的函数值求的近似值. 解 1） 用线性插值计算，因为在之间，故取两点，，则有线性插值 ， 所以. 2） 用过三点的抛物插值计算，有 ， 所以. 【注】 因为的近似值为0.6087614， ，， 所以抛物插值比线性插值精确. Lagrange插值的优缺点：Lagrange插值的优点是公式整齐对称，适合理论上的推导，并且计算机算法容易实现.Lagrange插值的缺点是计算上不太方便. 若在上用近似，则其截断误差为，也称为插值多项式的余项(Remainder Term).关于插值余项估计有下面定理. 【定理2】 设函数在上的阶导数连续，在内存在,是在处的次Lagrange插值多项式，则对中每一个点，存在依赖于的点使 ， （5.8） 其中. 证明 若是节点，公式（5.8）两边均等于零，结论成立. 设由于在处，于是有 ， 其中为与有关的待定函数. 为了确定，作辅助函数 . 显然都是的零点（共个），且. 由Rolle定理，在这个点的每两点间至少有一个零点.再对应用Rolle定理，则至少有个零点且都在内.依此类推，在内至少有一个零点，使，即有 . 由插值余项（5.8），我们有下面结论. （1）次插值的误差估计为：，其中； （2） 次插值的误差除与、