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西安交大复变函数试题及答案
成绩
西安交通大学考试题
课 程 复变函数 (A)
系 别 考 试 日 期 2007 年 7 月 5 日
专业班号
姓 名 学 号 期中 期末
填空(每题3分,共30分)
1. =
2. =0是函数的
(说出类型,如果是极点,则要说明阶数)
3. ,则=
4.
5. 函数在处的转动角为的收敛半径为=____________
7.
8.设C为包围原点在内的任一条简单正向封闭曲线,则
9.函数在复平面上的所有有限奇点处留数的和为___________
10.
二.判断题(每题3分,共30分)
1.在解析。【 】
2.在点可微,则在解析。【 】
3.是周期函数。【 】
4. 每一个幂函数在它的收敛圆周上处处收敛。【 】
5. 设级数收敛,而发散,则的收敛半径为1。【 】
6. 能在圆环域展开成洛朗级数。【 】
7. 为大于1的正整数, 成立。【 】
8.如果函数在解析,那末映射在具有保角性。【 】
9.如果是内的调和函数,则是内的解析函数。【 】10.。【 】
三.(8分)为调和函数,求的值,并求出解析函数。
四.(8分) 求在圆环域和内的洛朗展开式。
五.(8分)计算积分。
六.(8分)设,其中C为圆周的正向,求。
七.(8分)求将带形区域映射成单位圆的共形映射。
复变函数与积分变换(A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)
一.填空(各3分)
1.; 2. 三级极点 ;3. ;4. 0 ;5. 0 ;6. ;7. ;8. 0;
9. 0 ;10. 。
二.判断1.错;2.错;3.正确; 4. 错 ;5.正确 ;6.错; 7.错 ;8. 错 ;9. 正确 ;10. 错 。
三(8分) 解: 1)在
-----4分
2) 在
--4分
四.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故
--------3分
--------6分
故 ---------8分
五.(8分) 解: -------3分
由于1+i在所围的圆域内, 故
-------8分
六. (8分) 解:利用指数函数映射的特点以及上半平面到单位圆的分式线性映射,可以得到
(映射不唯一,写出任何一个都算对)
七.(8分) 解:对方程两端做拉氏变换:
代入初始条件,得 --------4分
故, ---------8分(用留数做也可以)
复变函数 (A)的参考答案与评分标准 (2007.7.5)
一.填空(各3分)1. ;2. 三级极点 ;3. ; 4. 0 ;5. 0 ;6. ;7. ;8. 0 ;9. 0 ; 10. 0。
二.判断1.错;2.错;3.正确 ;4. 错 ;5.正确 ;6.错 ;7.错 ;8. 错 ;9. 正确 ;10. 错 。
三.(8分) 解:因为是调和函数,则有
,即 故---------2分
1) 当 时, , 由C-R方程,
, 则, 又由
,故 , 所以 。
则 ----------3分
2) 当 时, , 由C-R方程,
, 则, 又由
,故 , 所以 。
则
四(8分) 解: 1)在
-----4分
2) 在
-------4分
五.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故
--------3分
--------6分
故 ---------8分
六.(8分) 解: -------3分
由于1+i在所围的圆域内, 故
-------8分
七. (8分) 解:利用指数函
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