光的电磁理论基础资料讲解.ppt

1.3.1 电磁场的矢势与标势 麦克斯韦方程组第4式表明，无论对稳恒场还是迅变场，磁感应强度矢量B的散度始终等于0，因此，磁场是一个有旋无源场。由矢量分析理论可知，散度等于0的矢量可以看作是某个矢量A的旋度，故可将磁感应强度矢量B表示为： (1.3.1) 这里定义矢量A为电磁场的矢势。 在静电场中，电场是一保守场，故电场强度可用一个标量函数即电势来描述。在迅变场中，电场不仅由电荷激发，而且也可能由变化的磁场激发，因而不再是一个保守场，但也不是一个有旋无源场。这样，电场就不能用一个单一的标量或矢量来描述。将上式代入麦克斯韦方程组第1式得： 显然， 为一无旋场，故可表示为某一标量场的梯度，即： 与矢势A对应，这里定义函数 为电磁场的标势。 1.3.2 洛伦兹规范与库仑规范 标势 的引入仅仅是为了简化电磁场问题的求解，并不具有电势能的意义，因为这里的电场E并非保守场。在变化着的电磁场中，电场和磁场是相互作用的整体，故需把矢势和标势也作为一个整体来描述电磁场。然而必须注意，用矢势A和标势 可以替代电场E和磁场B描述电磁场，但这种代替并不是唯一的，即给定E和B并不对应唯一的A和 。这是因为当(1.3.2)式成立时，若给其加上任意一个满足 的矢量函数 时，同样有： 故仍然不能解出一个确定的E。 因此，需要对矢势A加上一个约束条件，或曰规范。常用的规范条件有两种，即洛伦兹规范和库仑(Coulomb)规范，分别表示为： 在这种规范下，矢势A为无源场，因而(1.3.4)式中第2项( )也为无源场，而第1项( )为无旋场。前者对应于感应电场，即变化磁场产生的涡旋电场，而后者则对应于库仑场。 显然，由(1.3.6)式和(1.3.7)式给出的不同规范条件对应着不同的一组矢势和标势解(A， )，但却对应着同一组电场E和磁场B。这说明用势函数描述电磁场时，可以有不同的规范选择。但无论对势函数取何种规范，所描述的物理量和物理规律都应保持不变，这种不变性称为规范不变性。 从数学上也可以这样来理解这种规范变换的自由性：在引入矢势A时只给出了其旋度而没有给出其散度，而仅有旋度是不足以确定一个矢量场的。为了确定矢势A，必须再给出其散度。而电磁场E和B本身对A的散度并没有任何限制。因此作为确定矢势A的辅助条件，我们可以取其散度为任意值，每一种选择就对应一种规范，但不同规范又都对应着同一组E和B。 至于实际中究竟选取哪一种规范，要视所求解问题的方便而定。 矢势A和标势 的引入并采取适当的规范条件可使基本方程的求解得到简化。满足洛伦兹规范条件的矢势A和标势 称为洛伦兹规范下的矢势和标势。将洛伦兹规范分别代入麦克斯韦方程组的第2和第3式，并利用物质方程，可分别得到A和 满足的波动方程: 1.3.3 达朗贝尔方程 这样，由电场强度矢量E和磁感应强度矢量B所满足的波动方程便简化为矢势A和标势 所满足的波动方程。通常将这组方程称为达朗贝尔(d‘Alembert)方程。由达朗贝尔方程求出矢势A和标势 ，便可进一步由其定义(1.3.4)式和(1.3.1)式分别求出电场强度矢量E和磁感应强度矢量B的表达式。 1.4 电磁场的能量和能流 通常用能量密度和能流密度分别描述电磁场的储能和能量的传播性质。 能量密度定义为单位体积内的电磁场能量，用w表示，一般情况下w 是空间位置和时间的单值函数； 能流密度又称玻印亭矢量，用S表示，其大小定义为单位时间内垂直通过单位横截面积的电磁场能量，其方向代表能量的传播方向。 能量密度w和能流密度S的表达式可通过电磁场与带电体相互作用过程中，电磁场的能量和带电体运动的机械能相互转化而求出。 此作用力在单位时间内对电荷系统所作的功为： 设有空间域 ，表面积为 ，内有电荷和电流分布 、J ， 电荷运动速度为 v，则电磁场对电荷系统作用的洛伦兹力密度为： 由能流密度和能量密度的定义，单位时间流入空间域 内的电磁场能量和域内电磁场能量的增量分别为： 根据能量守恒定律，(1.4.2)式应等于(1.4.1)式与(1.4.3)式之和，即单位时间流入域内的电磁场能量应等于场对域内电荷所做功及域内电磁场能量的增加率之和： 相应的微分式为： 或： 由麦克斯韦方程组第2式得： 由此，并利用麦克斯韦方程组第1式，及矢量微分关系可得： = 将（1.4.9）式代入（1.4.7）式，并整理得： 式中左右两端分别只涉及到随空间和时间的变化，故可认为两端各自独立变化，因而等式成立的条件是各