2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案：第33讲__周期函数与周期数列.docVIP

第14讲 周期函数与周期数列 本节主要内容有周期；周期数列、周期函数． 周期性是自然规律的重要体现之一，例如地球公转的最小正周期就体现为年的单位．在数学中，我们就经常遇见各种三角函数，这类特殊的周期函数，特别是正弦、余弦函数与音乐有着密切的联系:19世纪法国数学家傅立叶证明了所有的乐声──不管是器乐还是声乐都能用数学表达式来描述，它们一定是一些简单的正弦周期函数的和． 作为认识自然规律的主要手段，数学在本学科中严格地引进了“周期”这个重要概念．在中学数学中，我们仅仅讨论定义域是整个实数轴的实值映射的周期性，尽管形式十分简单，但与之相关的问题仍有待研究．中学数学里称函数的周期，没有特殊说明是指其最小正周期． 如果函数y＝f(x)对于定义域内任意的x，存在一个不等于0的常数T，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，则称函数f(x)是周期函数，T是它的一个周期．一般情况下，如果T是函数f(x)的周期，则kT(k∈N＋)也是f(x)的周期．f (x＋T)=－f ( x)，则2T是f ( x)的周期，即f(x＋2 T)= f ( x) 证明：f(x＋2 T)= f(x＋T＋T)=－ f(x＋T)= f ( x)， 由周期函数的性质可得f(x＋2n T)= f ( x)，(nZ) 2．若f (x＋T)=±，则2T是f ( x)的周期，即f(x＋2 T)= f ( x)． 仅以f (x＋T)=证明如下： f(x＋2 T)= f(x＋T＋T)= = f ( x)．由周期函数的性质可得f(x＋2n T)= f ( x)，(nZ) 3．在数列中，如果存在非零常数，使得对于任意的非零自然数均成立，那么就称数列为周期数列，其中叫数列的周期． A类例题 例1（2001年上海春季卷前8项的值各异，且对任意的都成立，则下列数列中可取遍前8项值的数列为 （ ） A． B． C． D． 解析 由数列{an}前8项的值各异， 对任意n∈N＋都成立， 得数列{an}的周期T= 8，则问题转化为2k＋1， 3k＋1， 4k＋1， 6k＋1中k= 1，2，3，…代入 被8除若余数能取到0， 1， 2， 3， 4， 5，6， 7即为答案． 经检验3k ＋ 1可以，故可取遍{an}的前8项值．答案为B． 说明 本题还可以奇偶性的角度考虑，在2k＋1， 3k＋1， 4k＋1， 6k＋1中，2k＋1， 4k＋1， 6k＋1都是奇数，除8后仍都是奇数，只有3k＋1除8后余数能取到0， 1， 2， 3， 4， 5，6， 7． 例2 定义在R上的奇函数且f ( x＋2)=f ( x－2)，且f (1)= 2则f ( 2)＋f (7)= ． 解 因为f ( x＋2)=f ( x－2)，知f(x＋2T)= f ( x)．即f(x＋4)= f ( x)． 所以f(7)= f ( 3＋4)= f(－1＋4)= f ( －1)=－ f ( 1)=－2． f(－2)= f ( －2＋4)= f(2) 所以f(2)= 0． 从而f ( 2)＋f (7)=－2． 链接 若f (x＋T)=±f ( x－T)， ①f (x＋T)=f ( x－T)，2T是f ( x)的周期，即f(x＋2 T)= f ( x) 证明：f(x＋2 T)= f(x＋T＋T)=f(x＋T－T)= f ( x) ②f (x＋T)=－f ( x－T)，4T是f ( x)的周期，即f(x＋4T)= f ( x) 证明：f(x＋2T)= f(x＋T＋T)=－ f[(x＋T)－T]=－ f ( x) 所以由(一)可得f(x＋4T)= f ( x)． 情景再现 1．已知函数f(x)对任意实数x，都有f(a＋x)＝f(a－x)且f(b＋x)＝f(b－x)，求证:2|a－b|是f(x)的一个周期．(a≠b)}满足x1=1，x2=6，(n≥2)，求x2006及S2006． 时， f ( x)=2x－4，则时f ( x)= 因为f (1＋x)=f (1－x)， f (x)=f (－x)，知f(x＋4)= f ( x)， 故当时， x＋4， f ( x)= f(x＋4)= 2x＋4－4=2x． 又时，即－，所以f ( x)=－ f ( －x)=－ 2－x() 链接：若f (T ＋x)=±f (T －x)， (1) f (T ＋x)=f (T －x) ①若f ( x)是偶函数，2T是f ( x)的周期，即f(x＋2T)= f ( x) ②若f ( x)是奇函数，4T是f ( x)的周期，即f(x＋4T)= f ( x) (2) f (T ＋x)=－f (T －x)