03-5韩信点兵与中国剩余定理.ppt

第五节　韩信点兵与中国剩余定理 一、“韩信点兵”的故事和《孙子算经》中的题目 1.“韩信点兵”的故事 韩信阅兵时，让一队士兵5人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（1人）；再让这队士兵6人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（5人）；再让这队士兵7人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（4人），再让这队士兵11人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（10人）。 然后韩信就凭这些数，可以求得这队士兵的总人数。 这里面有什么秘密呢？ 韩信好像非常重视作除法时的余数 2.《孙子算经》中的题目 我国古代数学名著《孙子算经》中有“物不知数”的 题目： 今有物不知其数， 三三数之剩2， 五五数之剩3， 七七数之剩2， 问物几何？ 这里面又有什么秘密呢？ 题目给出的条件， 也仅仅是作除法时的余数 《孙子算经》 二．问题的解答 1．从另一个问题入手 问题：今有物不知其数，二二数之剩1，三三数之剩2，四四数之剩3，五五数之剩4，六六数之剩5，七七数之剩6，八八数之剩7，九九数之剩8，问物几何？ 1）筛法 1，3，5，7，9，11，13，15，17，19， 21，23，25，… （ 用2除余1） 5， 11， 17， 23， … （ 用3除余2） 11， 23，… （ 用4除余3） 再从中挑“用5除余4”的数，… 一直筛选下去，舍得下功夫，就一定可得结果。 并且看起来，解，还不是唯一的；可能有无穷多个解。 化繁为简的思想 当问题中有很多类似的条件时，我们先只看其中两三个条件，这就是化繁为简。 一个复杂的问题，如果在简化时仍然保留了原来问题的特点和本质，那么简化就“不失一般性”。 学会“简化问题”与学会“推广问题”一样，是一种重要的数学能力。 寻找规律的思想 把我们的解题方法总结为筛法，是重要的进步，是质的飞跃： ——找到规律了。 筛法是一般性方法，还可以用来解决其他类似的问题。 所谓“带余除法”，是指整数的如下 “除法”： 被除数 ，除数 , 必唯一存在商 和余 ，使 当余 时，则 ，称为 “ 整除”，或 “ 整除 ”，这是通常除法“ ” 的另一种表达形式。所以，带余 除法是通常除法的推广。 回到求“用2除余1的数”的问题。设这 样的数为 ，则 。这里 是 被除数，2是除数， 是商，1是余， 且 。 这就是“带余除 法”的式子。当取 时， 用上式求得的 正好组成上述数列 1，3，5，7，9，11，13，15， 17，19，21，23，25，… 接着从中筛选出“用3除余2”的 数，就是挑出符合下面“带余除法”表达式 的数，这里 可取0，1，2，3，4，… 再继续做下去。。。。。。 如果我们不分上面两步，而是一上来就综合考虑两者，则就是要解联立方程组 于是把上边每个方程两边都加上1，成为 这说明， 既是2的倍数，又是3的 倍数，因此