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* 引言 与其它总体相比， 正态总体参数的置信区间是最完 善的， 应用也最广泛. 在构造正态总体参数的置信 区间的过程中， 正态分布 扮演了重要角色. 本节介绍正态总体的置信区间， 讨论下列情形: 单正态总体均值(方差已知)的置信区间; 分布、 分布、 分布以及标准 单正态总体均值(方差未知)的置信区间; 单正态总体方差的置信区间; 双正态总体均值差(方差已知)的置信区间; (1) (2) (3) (4) 双正态总体均值差(方差未知但相等)的置信 双正态总体方差比的置信区间. (5) (6) 区间. 一、单正态总体均值(方差已知)的置信区间 设总体 其中 已知, 参数， 是取自总体 的一个样本. 对给定的置信水平 由上节例1已经得到 的置信区间 而 为未知 注： 标准正态分布具有对称性， 利用双侧分位数来 计算未知参数的置信度为 的置信区间， 间长度在的有这类区间中是最短的. 其区 给定的置信水平 对任意的 按定义, 的区间 事实上, 对 凡满足 都是 的置信区间， 但在所有这类区间中仅当 时的区间长度最短. 例1 某旅行社为调查当地旅游才的平均消费额, 机访问了100名旅游者, 得知平均消费额 元. 根据经验, 已知旅游者消费服从正态分布, 且标准 为95%置信区间. 解 对于给定的置信度 查标准正态分布表 将数据 随 元, 差 求该旅游者平均消费额 的置信度 代入 计算得 的置信度为95%的置 信区间为 即在已知 情形下, 可 77.6元至82.4元之间. 以 95% 的置信度认为每个旅游者的平均消费额在 完 例2 设总体 其中 未知, 为其样本. (1) 试求置信度分别为0.9及0.95的置信 区间的长度. 多大方能使 的90%置信区间的长度不超过1? 多大方能使 的95%置信区间的长度不超过1? 时, 当 (2) (3) 解 (1) 则 于是当 时, 时, 当 的置信区间长度为 记 例2 设总体 其中 未知, 为其样本. 多大方能使 的90%置信区间的长度不超过1? 多大方能使 的95%置信区间的长度不超过1? (2) (3) 解 (2) 欲使 即 必须 于是, 当 时, 即 即 至少为44 时, 长度不超过1. 的90%置信区间的 (3) 类似可得 时, 当 注: ①由(1)知, 当样本容量一定时, 置信度越高, 则 ② 置信区间长度越长, 对未知参数的估计精度越低. 在置信区间的长度及估计精度不变的条件下, 提高置信度, 就须加大样本的容量 以获得总体更 要 多的信息. 完 二、单正态总体均值(方差未知)的置信区间 设总体 其中 未知, 估计 代替 构造统计量 从第5章第三节的定理知 对给定的置信水平 由 是取自总体 的一个样本. 此时可用 的无偏 即 因此， 均值 的 置信区间为 例3 某旅行社随机访问了25名旅游者, 得知平均消 费额 元, 子样标准差 元, 已知旅游者 消费额服从正态分布, 的置信区间. 解 对于给定的置信度 将 代入计算得 的置信度为95%的置信区间为 求旅游者平均消费 的95% 即在 未知情况下, 均消费额在75.05元至84.95元之间, 这个估计的可靠 度是95%. 估计每个旅游者的平 例4 有一大批袋装糖果. 现从中随机地取16袋, 重量(以克计)如下: 506 508 499 503 504 510 497 512 514 505 493 496 506 502 509 496 设袋装糖果的重量近似地服从正态分布, 试求总体 均值 的置信水平为0.95的置信区间. 解 称得 由给出的数据算得 可得到均值 的一个置信水平为0.95的置信区间为 即 这就是说, 507.1克之间, 这个估计的右信程度为95%. 若以此 区间内任一值作为 的近似值, 其误差不大于 (克) 这个误差估计的可信程度为95%. 完 估计袋装糖果重量和均值在 克与 500.4 三、单正态总体方差的置信区间 设总体 其中 未知, 是取自总体 的一个样本. 求方差 的置信度为 的置信区间. 的无偏估计为 三节的定理2知, 对给定的置信水平 由 从第5章第 于是方差 的 的置信区间为 而标准差 的 的置信区间为 例5 为考察某大学成年男性的胆固醇水平, 现抽取 了样本容量为25 的一样本, 并测得样本均值 样本标准差 试分别求出 以及 的90%的置信区间. 解 的置信度为 的置信区间为 按题设数据 查表得 与 均示知, 假定所论胆固醇水平 于是 即 的置信度为 置信区间为 查表得 于是, 置信下限和置信上限分别为 所求 的90%置信区间为 完 四、双正态总体均值差(方差已知)的置信区间 设 是总体 的容量为 的样本均值, 是总体 的容量为 的样本均值, 体相互独立， 其中 已知.