解线性方程组的直接方法主元素方法.ppt

* 第二章 解线性方程组的直接方法 ,使得 其中 为单位下三角矩阵， 为上三角矩阵。存在性得证。 按归纳法原理，存在初等矩阵 由式（2-15）得 * 第二章 解线性方程组的直接方法 由于单位下（上）三角阵的逆仍是单位下（上）三角阵, 所以 对A是奇异的情况，可参考[1]. 惟一性。设矩阵A有两种Doolittle分解 当A非奇异时， 均为非奇异矩阵.于是由 式（2-17），有 上（下）三角阵的乘积仍为上（下）三角阵，故有 (2-17) p27 * 第二章 解线性方程组的直接方法 两个矩阵相等就是他们的对应元素都相等，比较A与 下面讨论如何如何对A进行LU分解. LU的对应元素，即可得出L,U中元的计算公式. A=LU,即 由矩阵的乘法法则，得 * 设已定出U的第一行至第r-1行元素, 与L的第一列 至第r-1列元素, (注意到当 ) 故有 又 故有 (U的第r行) (L的第r列) * 第二章 解线性方程组的直接方法 由此可得计算 和 的公式 （2-18） * 第二章 解线性方程组的直接方法 计算过程应按第1行,第1列,第2行，第2 列，...的顺序进行. 2.计算U的第r行，L的第r列 计算U的第1行, L的第1列 具体步骤如下： * 第二章 解线性方程组的直接方法 的三角分解。 例4 求矩阵 [解] 按式（2-18） * 第二章 解线性方程组的直接方法 所以 * 第二章 解线性方程组的直接方法 两个矩阵相等就是他们的对应元素都相等，比较A与 下面讨论如何如何对A进行LU分解. LU的对应元素，即可得出L,U中元的计算公式. A=LU,即 由矩阵的乘法法则，得 * 第二章 解线性方程组的直接方法 计算过程应按第1行,第1列,第2行，第2 列,...的顺序进行. 2.计算U的第r行，L的第列r 计算U的第1行, L的第1列 具体步骤如下： * 第二章 解线性方程组的直接方法 紧凑格式。 根据式（2-18）的特点，矩阵的三角分解可按以下格 式及顺序进行。这种格式既便于记忆，又便于计算,称为 表2-1 * 第二章 解线性方程组的直接方法 框从外到内进行。每一框中先算行，从左向右依次计算 ；再算列，自上而下求 2.计算方法：按行计算时，需将所求元 的对应元 逐项减去 所在行左面各框的元 乘以 所在列上面各框相应的元 按列计算 时，在作上述运算后还需除以 所在框的对角元 例4中矩阵 说明： 计算顺序：将 按表2-1列好，计算时按 的三角分解按 * (2) 2 (2) 2 (3) 3 表2-2 紧凑格式计算，结果见下表。 第二章 解线性方程组的直接方法 * 第二章 解线性方程组的直接方法 所以 即由 2.3.3 直接三角分解法 如果线性方程组 的系数矩阵已进行三角分解 则解方程组 两个三角形方程组 等价于求解 * 第二章 解线性方程组的直接方法 可求出 (2-20) (2-19) * 第二章 解线性方程组的直接方法 再由 解得 (2-22) (2-21) * 第二章 解线性方程组的直接方法 容易看出,式（2-20）与式（2-18）的运算规律相同, 2-1的最后一列，按 的计算方法即 表2-3是求解线性方程组的紧凑格式，其计算顺序与 故在利用三角分解求解方程组时，只需把右端向量 计算方法与三角分解相同。按表2-3计算后，再按式 列在表 (2-22) 即可求出方程组的解 可求出 * 第二章 解线性方程组的直接方法 表2-3 * 例： 用杜利特尔分解法求解线性方程组 解： 设 * 第二章 解线性方程组的直接方法 按式（2-18） * 第二章 解线性方程组的直接方法 所以 由 即 解得 由 即 解得 * 第二章 解线性方程组的直接方法 [解] 按表2-3计算 例5 用紧凑格式解线性方程组 * 第二章 解线性方程组的直接方法 （3）3 (2) 2 (5) 5 (6) 6 * 第二章 解线性方程组的直接方法 所以 解方程组 得原方程组的解 * 第二章 解线性方程组的直接方法 用三角分解法求解线性方程组的乘除运算量也是 数量级。由于在求出 和 后, 和 就无 需保留了，故上机计算时可把 和 存在 所在的单元，回代时 取代 ,整个计算过程中不需 要增加新的存贮单元. 从三角分解法的推导及例中可以看出，系数矩阵的 三角分解与右端项无关.因而在计算系数矩阵相同而 右端项不同的一系列方程组时用三角分解法更为简便. * 第二章 解线性方程组的直接方法 详细内容可参看[2]. 也可以把矩阵 分解成一个下三角矩