13年高考真题理科数学(天津卷).doc

2013年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理） 一选择题（本大题共小题，每小题5分，共0分。在每小题给也的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）已知，则( )（A） （B） （C） （D） 2．设变量满足约束条件，则目标函数的最小值为( ) （A） （B） （C）1 （D）2 3．阅读边的程序框图，运行相应的程序，若输入的值为，则输出的值为( ) 4．已知下列三个命题①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等③直线与圆相切其中真命题的序号是( )①②③ （B）①② （C）②③ （D）②③ 5．已知双曲线的两条渐近线与抛物线的准线分别交于两点为坐标原点若双曲线的离心率为的面积为则= （C）2 （D）3 6．在中，，，，则=( ) （B） （C） （D） 7．函数的零点个数为( ) 8．已知函数设关于的不等式的解集为若则实数的取值范围是( ) （B） （C） （D） 二填空题本大题共小题，每小题5分，共分 9．设，是虚数单位若，则______ 10． 的二项展开式中的常数项为___________ 11．已知圆的极坐标方程为， 圆心为， 点的极坐标为， 则=_________ 12．在平行四边形中，，为的中点若, 则的长为___________ 13．如图，为圆的内接三角形，为圆的弦，且过点做圆的切线与的延长线交于点，与交于点若，，，则线段的长为_________ 14．设则当______时, 取得最小值 15．（本小题满分13分）已知函数 ⑴求的最小正周期⑵求在上的最大值和最小值 16．（本题满分13分）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为白色卡片3张，编号分别为从盒子中任取4张卡片假设取到任何一张卡片的可能性相同⑴求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率⑵再取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为，求随机变量的分布列和数学期望 17．（本小题满分13分）如图，四棱柱中，侧棱底面，，，，为棱的中点⑴证明；⑵求二面角的正弦值⑶设点在线段上，且直线与平面所成角正弦值为，求线段的长 18．（本小题满分13分）设椭圆的左焦点为离心率为过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为⑴求椭圆的方程⑵设分别为椭圆的左右顶点过点且斜率为的直线与椭圆交于两点若求的值 19．（本小题满分14分）已知首项为的等比数列不是递减数列其前项和为, 且成等差数列⑴求数列的通项公式⑵设求数列的最大项的值与最小项的值 20．本小题满分14分已知函数⑴求函数的单调区间⑵证明: 对任意的，存在唯一的，使⑶设⑵中所确定的关于的函数为，证明: 当时，有 2013年普通高校招生全国统考卷解答 CBA 二．9．；10．15；11．；12．；13．；14．。 15．解：⑴ ，故的最小正周期； ⑵因为在单调递增，在单调递减，并且，，，故在上的最大值为，最小值为2。 1 2 3 4 16．解：⑴记“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件，则，故所求概率为； ⑵的所有可能取值为。， ，，。故的分布列如右上表所示，其期望。 17．解：如图，以点为原点建立空间直角坐标系，由题，，，，，。⑴，，故，因此； ⑵，设是平面的法向量，则，得，取可得平面的一个法向量。由⑴，又，故平面，知为平面的一个法向量。故 ，知，所以所求二面角的正弦值为； ⑶，，设，则。取为平面的一个法向量，设为与平面所成角，则。 于是，解得，所以。 18．解：⑴设，由得。过且与轴垂直的直线方程为，代入椭圆方程得，解得。于是，解得。又因为，所以，，从而椭圆的方程为； ⑵设，，由可得直线的方程为。代入椭圆方程并整理得，故，。因为，，所以 。由题，解得。 19．解：⑴设的公比为，由题，即，故。又不是递减数列，且，故，从而； ⑵由⑴得，当为奇数时，随的增大而减小，故，知。当为偶数时，随的增大而增大，故，知。综上，的最大项，最小项。 0 极小值 20．解：⑴由题，令得。当变化时，、的变化情况如右表所示。因此，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； ⑵当时，。设，令，由⑴知，在区间单调递增。， ，故存在唯一的，使得成立； ⑶因为，由⑵知，且，从而 ，其中。要使成立，只需。当时，若，则由的单调性，有，矛盾。故，即，从而成立。另一方面，令，则，令，得。当时，；当时，。故对，。因此成立。综上得证。 2013年高考真题理科数学（解