1.1回归分析的基本思想和其初步应用.ppt

* * * * * * 1.1回归分析的基本思想及其初步应用 例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。 59 43 61 64 54 50 57 48 体重/kg 170 155 165 175 170 157 165 165 身高/cm 8 7 6 5 4 3 2 1 编号 求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为 172cm的女大学生的体重。 案例1：女大学生的身高与体重 解：1、选取身高为自变量x，体重为因变量y，作散点图： 2、从散点图还看到，样本点成条状分布， 身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可 以用线性回归方程y=bx+a来近似的 刻画它们之间的关系。 由数学三的知识可知 根据最小二乘法估计 和 就是未知参数a和b的最好估计， 根据最小二乘法估计 和 就是未知参数a和b的最好估计， 于是有b= 所以回归方程是 所以，对于身高为172cm的女大学生，由回归方程可以预报其体重为 探究： 身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？ 探究： 身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？ 如果不是，你能解析一下原因吗？ 答：身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg， 但一般可以认为她的体重在60.316kg左右。 从散点图还看到，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。 我们可以用线性回归模型来表示：y=bx+a+e，其中a和b为模型的未知参数，e称为随机误差。 显然身高为172cm的女大学生的体重不一定是60.316kg，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右，散点图中的样本点和回归直线的相互位置说明了这一点: 思考 产生随机误差项e的原因是什么？ 随机误差e的来源(可以推广到一般）： 1、其它因素的影响：影响身高 y 的因素不只是体重 x，可能 还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素； 2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差； 3、身高 y 的观测误差。 函数模型与回归模型之间的差别 函数模型： 回归模型： 线性回归模型y=bx+a+e增加了随机误差项e，因变量y的值由自变量x和 随机误差项e共同确定，即自变量x只能解析部分y的变化。 在统计中，我们也把自变量x称为解析变量，因变量y称为预报变量。 思考：如何发现数据中的错误？如何衡量模型的拟合效果？ 在实际应用中，我们用回归方程 中的 估计（1）中的bx+a，由于随机误差e=y-(bx+a) ,所以 ，对样本点而言 对回归模型进行统计检验 表1-4列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。 在研究两个变量间的关系时，首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关， 是否可以用回归模型来拟合数据。 残差分析与残差图的定义： 然后，我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果，判断原始 数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。 0.382 -2.883 6.627 1.137 -4.618 2.419 2.627 -6.373 残差 59 43 61 64 54 50 57 48 体重/kg 170 155 165 175 170 157 165 165 身高/cm 8 7 6 5 4 3 2 1 编号 我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本 编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。 残差图的制作及作用。 坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择； 若模型选择的正确，残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域； 对于远离横轴的点，要特别注意。 身高与体重残差图 异常点 错误数据 模型问题 几点说明： 第一个样本点和第6个样本点的残差比较大，需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误，就予以纠正，然后再重新利用线性回归模型拟合数据；如果数据采集没有错误，则需要寻找其他的原因。 另外，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选用的模型计较合适，这样的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高。 思考： 如何刻画预报变量（体重）的变化？这个变化在多大程度上 与解析变量（身高）有关？在多大程度上与随机误差有关？ 那么，在这个总