22大学高数历年期末试题.doc

2010-2011年 一. 填空题 (共4小题，每小题4分，共计16分) 1． 2．设,则= 3．设函数以为周期，为的的傅里叶级数的和函数，则 . 4．设曲线为圆周,则曲线积分= 二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分） 1. 设直线为平面为,则 （ ） . (A) 平行于平面 (B) 在平面上 (C) 垂直于平面 (D) 与相交，但不垂直 2．设有空间区域，则等于 （ ）. (A) (B) (C) (D) 3．下列级数中，收敛的级数是（ ）. (A) (B) (C) (D) 4. 设是正项级数，则下列结论中错误的是（ ） （A） 若收敛，则也收敛 （B）若收敛，则也收敛 （C）若收敛，则部分和有界 （D）若收敛，则 三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分） 1．设函数具有二阶连续偏导数，，求. 2．求函数在曲线上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向轴正向的切线方向的方向导数. 解： 3．计算其中. 4. 设立体由锥面及半球面围成.已知上任一点处的密度与该点到平面的距离成正比（比例系数为），试求立体的质量. 6. 计算第二类曲面积分，其中为球面的外侧． 7．求幂级数的和函数。 四．证明题（本题4分） 证明下列不等式成立：，其中. 五．证明题（本题8分）设有一小山，取它的底面所在平面为坐标面，其底部所占的区域为小山的高度函数为 （1）设为区域上一点，问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为，试写出的表达式。 （2）现欲利用此小山举行攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点作为攀登的起点也就是说，要在的边界线上找使（1）中的达到最大值的点，试确定攀登起点的位置。 2009-2010年 填空题（每小题5分，满分30分） 1. 若向量两两互相垂直，且，则 . 2．设函数，求 . 3. 设函数为连续函数,　改变下列二次积分的积分顺序： . 4. 计算 . 5. 幂级数的收敛域为： . 6. 设函数?的傅里叶级数为：， 则其系数 . 选择题（每小题5分，满分20分） 1．直线与平面的位置关系是( ) (A) 直线在平面内； (B) 垂直； (C) 平行； (D) 相交但不垂直( 2.设函数, 则（ ） (A) 在原点有极小值； (B) 在原点有极大值； (C) 在点有极大值； (D) 无极值. 3. 设是一条无重点、分段光滑，且把原点围在内部的平面闭曲线，的方向为逆时针方向，则（ ） (A) 0； (B) ； (C) ； (D) . 4. 设为常数，则级数（ ） (A) 绝对收敛； (B) 发散； (C) 条件收敛； (D) 敛散性与值有关. 本页满分14分 本页得分 三、计算题 (本大题满分42分) 1. 设 讨论在原点处是否连续，并求出两个偏导数和. (7分) 2. 计算其中是由上半球面和锥面 所围成的立体 . (7分) 本页满分14分 本页得分 3. 求锥面被柱面所割下部分的曲面面积.（7分） 4. 计算曲面积分 ，其中 是由 围在第一卦限的立体的外侧表面 . （7分） 本页满分14分 本页得分 5.讨论级数的敛散性. （6分） 6. 把级数的和函数展成的幂级数.（8分） 本页满分8分 本页得分 （本题满分8分）设曲线L是逆时针方向圆周，是连续的正函数，证明： 本页满分8分 本页得分 设曲线L是逆时针方向圆周，是连续的正函数，证明：（8分） 2008-2009年 一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）. 1