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第二章 解析函数 §2.1解析函数的概念 1.复变函数的导数 1）定义 2.1.1： 设函数在点的某个邻域内有定义，，若极限 存在，且极限值为有限复数，则称函数在点可导或可微，极限值称为在点的导数或微商，记为或，或，即 。 若在区域内每点均可导，则称在区域内可导。这时对于区域中的任一，都对应着的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，称之为原来函数的导函数，有时也称为导数。 若导数又可导，定义，称为二阶导数，一般地，称为的阶导数。 复变函数的微分概念在形式上与一元实变函数的微分概念类似。 2）可导和连续的关系： 我们知道，若复变函数在某点连续，则该函数在该点极限一定存在，反之不一定成立。那么可导与连续有何关系？ 设函数在点处可导，则由定义，对于任给的，对应存在，使得当时，有 成立。令 那么 由此得到 即 故有 可见： 若函数在点可导，则在点必定连续（即在点连续是在点可导的必要条件）。但反之不一定成立。 3）求导法则： 当都是复变数的可导函数时，下列求导公式与法则成立： （1）； （2）； （3），； （4），其中； （5），其中与是两个互为反函数的单值函数，且； （6）当为复常数时，； （7），其中为自然数； （8）； （9），； （10）。 【注】：与极限情况类似，尽管复函数导数的定义形式与一元实函数导数定义完全相同，但实际上复函数在一点可导的定义比实函数的要荷刻得多。究其原因，与极限情况相同：由于是平面点集，只有当沿着中的四面八方通向的任何路径趋于时，增量比都趋于同一复数，我们才能说在点有极限存在，而实函数的导数存在只要求两个方向（从左右两方向趋于）。也正是这荷刻的要求，给可导的复变函数论带来了许多与实变量的实函数分析所不同的特殊结果。 2.解析的概念 1）定义 2.1.2： 若函数在点的邻域内处处可导，则称在点解析。若函数在区域内处处可导，则称在区域内解析，或称为区域内的解析函数（又称为全纯函数或正则函数）。若在点不解析，但在点的一个邻域内总有解析点，则称为的奇点。 【注】：对于解析函数的理解，要注意到一个点的邻域无论它多小也是一个区域，由解析函数的定义可见，解析函数的概念总是基于一个区域作出的，哪怕这个区域只是一个点的邻域。除在全复平面解析的函数外，不能离开一个区域来谈函数是否是解析函数。对于一个给定的函数，如果在一个指定的区域内，它点点可导，则它在这个区域内是解析的；如果在这个区域内，它有不可导的点，就不能称它为该区域内的解析函数。总之，要注意，函数在区域内解析与在区域内可导等价，但函数在一点解析与在一点可导却不等价（函数在一点解析与在一点可导是不同概念）。此外，函数在区域内解析与在区域内处处解析等价 【注】：但是，通常泛称的解析函数是允许它有奇点的。 例：研究函数的解析性。 解： 因为在复平面内除点外处可导，且 所以在除外的复平面内，函数处处解析，而是它的奇点。 2）函数解析与可导、连续、极限的关系： 在某点解析该点可微（可导）该点连续该点极限存在，反之均不一定成立； 区域解析区域可微（可导）。 §2.2解析函数的充要条件 1.柯西—黎曼条件 由前面知道，复函数在点连续，等价于组合成的二元实函数和在点连续。那么在点可微是否也等价于和在点可微呢？答案是：不等价。一般说来，若二元实函数和是彼此独立的，尽管和都在点可微，但它们组合成的复函数在点仍是不可微的。若要在点可微，除了其实部和虚部必须有某种可微性要求外，实部和虚部还不应是互相独立的，彼此之间还必须满足某种条件。下面的定理就对此作出回答。 定理2.1.1a（直角坐标形式的可导的必要条件）： 若函数于点可导，则在点必有 （1） 偏微分方程方程（1）叫作直角坐标形式的柯西(Cauchy)－黎曼(Riemann)方程，或柯西－黎曼条件（简称为C-R条件）。 定理2.1.1b（极坐标形式的可导的必要条件）： 用和分别表示的模和辐角，若函数可导，则在点必有 （2） 偏微分方程方程（2）叫作极坐标形式的柯西－黎曼条件。 定理2.1.1c（可导的充分必要条件）： 设函数在区域内有定义，则在内一点可导的充分必要条件是： （1）二元实函数、在点处可微； （2）、在点满足柯西—黎曼条件： 上述条件满足时，在点的导数可以表为下列形状之一： （3） 【注】： ①.定理2.1.1c所述的两个条件必须都被满足。如果其中有一个得不到满