3-1,2向量和相关性(东华大学).ppt

证 定理3 证明 说明 说明 　　１. 向量、向量组与矩阵之间的联系，线性方 程组的向量表示；线性组合与线性表示的概念； 　　２. 线性相关与线性无关的概念；线性相关性 在线性方程组中的应用；（重点） 　　３. 线性相关与线性无关的判定方法：定义， 两个定理．（难点） 四、小结 思考题 证明　（１）、（２）略． （３）充分性 必要性 思考题解答 第三章：向量、向量空间 第一节：向量及其运算 定义1 分量全为复数的向量称为复向量. 分量全为实数的向量称为实向量， 一、 维向量的概念 例如 n维实向量 n维复向量 第1个分量 第n个分量 第2个分量 二、 维向量的表示方法 　　 维向量写成一行，称为行向量，也就是行 矩阵，通常用　　　　　　等表示，如： 　　 维向量写成一列，称为列向量，也就是列 矩阵，通常用　　　　等表示，如： 注意 　　１．行向量和列向量总被看作是两个不同的 向量； 　　２．行向量和列向量都按照矩阵的运算法则 进行运算； 向　　量 解析几何 线性代数 既有大小又有方向的量 有次序的实数组成的数组 几何形象：　可随意 平行移动的有向线段 代数形象：　向量的 坐　标　表　示　式 坐标系 三、向量空间 空　　间 解析几何 线性代数 点空间：点的集合 向量空间：向量的集合 坐标系 代数形象：　向量空 间　中　的　平　面 几何形象：　空间 直线、曲线、空间 平面或曲面 一　一　对　应 叫做 维向量空间． 时， 维向量没有直观的几何形象． 叫做 维向量空间　 中的 维超平面． 第二节：向量组的线性相关性 向量、向量组与矩阵 线性相关性的概念 线性相关性的判定 若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）所组成的集合叫做向量组． 例如 一、向量、向量组与矩阵 向量组 , , …， 　称为矩阵A的行向量组． 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵. 线性方程组的向量表示 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应． 定义１ 线性组合 　　　　　　　　　　　　　　　　 向量 能 由向量组 线性表示． 定理1 定义２ 向量组 能由向量组 线性表示 向量组等价． 从而 注意 定义３ 二、线性相关性的概念 则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关． 定理　向量组 （当 时）线性相关 的充分必要条件是 中至少有一个向 量可由其余 个向量线性表示． 证明 充分性 设 中有一个向量（比如 ）能由其余向量线性表示. 即有 三、线性相关性的判定 故 因 这 个数不全为0， 故 线性相关. 必要性 设 线性相关， 则有不全为0的数　　　　　　使 因 中至少有一个不为0， 不妨设　　　则有 即 能由其余向量线性表示. 证毕. 线性相关性在线性方程组中的应用 结论 定理2 下面举例说明定理的应用. 证明　（略） 解 例１ 解 例２ 分析