离散型随机变量的期望与方差典型例题教学设计示例1.doc

13.2.1 离散型随机变量的期望与方差—期望 一．教学目标： 1．了解离散型随机变量的期望的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望． 2．理解公式“”，以及“若，则”．能熟练地应用它们求相应的离散型随机变量的期望． 二．教学重点：离散型随机变量的期望的概念及其求法． 教学难点：离散型随机变量的期望的概念的理解． 三．教学用具：投影仪 四．教学过程： 1．复旧引新 （1）离散型随机变量的分布列的概念、性质． （2）离散型随机变量服从二项分布的概念、例子． （3）提出教科书中“某射手射击所得环数的分布列”的例子，可问：我们能否通过计算，预计该射手n次射击的平均环数？ 2．提出离散型随机变量ξ的数学期望Eξ的概念及公式E(aξ+b)=aEξ+b 在复习、思考、计算与讨论的基础上，教师可问：从多名射手中选拔一名参加射击比赛，我们能否根据他们各自射击的平均成绩（数学期望）作为选拔的一项标准？同时概括出： 引例：某射手射击所得的环数ξ的分布列如下； ξ 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 在n次射击之前，虽然不能确定各次射击所得的环数，但是可以根据已知的分布列估计n次射击的平均环数。 根据这个射手射击所得的环数ξ的分布列，在n次射击中，预计大约有 P(ξ=4)×n=0.02n次得4环, P(ξ=5)×n=0.04n次得5环, P(ξ=6)×n=0.06n次得6环, …… P(ξ=10)×n=0.22n次得10环, n次射击的总环数约等于：4×0.02n+5×0.04n+6×0.06n+……+10×0.22n =（4×0.02+5×0.04+6×0.06+……+10×0.22）n 从而，n次射击的平均环数约等于 4×0.02+5×0.04+6×0.06+……+10×0.22=8.32 类似地，对任一射手，若已知其射击所得的环数ξ的分布列，即已知各个P(ξ=i)（i=1，2，3，…，10），则可预计他任意n次射击的平均环数是 Eξ=0×P(ξ=0)+1×P(ξ=1)+2×P(ξ=2)+……+10×P(ξ=10) 我们称Eξ为此射手射击所得的环数ξ的期望，它刻化了随机变量ξ所取的平均值，从另一方面反映了射手的射击水平。 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为 ξ x1 x2 … xn … P p1 p2 … pn … 则称Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望或平均数、均值．数学期望简称为期望． 根据数学期望的概念及前面所学知识，推导出公式E(aξ+b)=aEξ+b 3．例题讲解 例1 随机抛掷一枚骰子，求所得的点数ξ的期望。 估计学生对教科书中的例1和例2的理解不存在困难，所以讲此例之前可布置学生自学这两道例题． 例2、某车间在三天内，每天生产10件某产品，其中第一天，第二天分别生产出了1件、2件次品，而质检部每天要从生产的10件产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过。 （I）求第一天通过检查的概率； （II）求前两天全部通过检查的概率； （III）（理科做，文科不做）若厂内对车间生产的产品采用记分制：两天全不通过检查得0分，通过1天、2天分别得1分、2分，求该车间在这两天内得分的数学期望。 解：（I）随意抽取4件产品检查是随机事件，而第一天有9件正品 第一天通过检查的概率为 （II）同（I），第二天通过检查的概率为 因第一天，第二天是否通过检查相互独立 所以，两天全部通过检查的概率为： （II）记得分为，则的值分别为0，1，2 因此， 例3 接第1节例3，若随机变量的概率分布为 ξ 15 16 17 18 P 0.1 0.5 0.3 0.1 求所收租车费η的数学期望． 解：依题意，得 答：所收租车费的期望是34.8元． 4、考察服从两点分布、二项分布及几何分布的随机变量的期望： ⑴服从两点分布的随机变量的期望 例4．（即教科书中例1）篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚球不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得分ξ的期望。（服从两点分布的随机变量的期望） ⑵服从二项分布的随机变量的期望 提出并推导若ξ～B(n,p)，则Eξ=np 例5、（即教科书中例4）一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作答或答错不得分，满分100分。学生甲选对任意一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从四个选项中随机地选择一个。求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。（服从二项分布的随机变量的期望