空间向量知识点(投影).doc

空间向量知识要点 已知向量，向量，单位向量 （1） 其中表示向量 ，夹角。 （2） （3） （4）,（5） （6） （交换律） （7） （分配律）注意：不满足结合律 上述运算法则依然适用于空间向量空间向量的坐标表示 及运算法则（坐标表示的前提是向量的起点为原点）如 右图，空间直角坐标系中， 有， 其中、、分别为、、z 的单位向量，则记为， 这就是的坐标表示。 运算法则：设，则 ① ② ③ ④ ⑤且且 ⑥ ⑦ ， ⑧ 已知点与点则有 ⑨ ⑩ 相关应用 一、证明方面： 已知、为两个不同平面，，分别它们的法向量，是 一条直线，的方向向量为，则有： 1、等价于，且, 2、等价于 3、等价于, 4、等价于 其中平行可以通过共线进行判断， 垂直可以通过数量积进行判断。 二、计算方面： 1、平面的法向量的求法：设，利用与平面 内的两个不共线向量，垂直，其数量积为零，列出 两个三元一次方程，联立后取其一组解。 2、线面角的求法：设是 平面的法向量，是直 线的方向向量，则直线与 平面所成的角为 3、二面角的求法： ①、分别是二面角 的两个半平面内 与棱垂直的异面直线，则 二面角的大小就是。 ②设，是二面角 的两个面、的法向量， 则 就是二面角的平面角或其补角。 4、异面直线间的距离的求法： 、是两条异面直线，是 、的共垂线段的方向 向量，又、分别是、 上的任意 两点，则 5、点面距离的求法：设是 平面的法向量，是平面 的一条斜线，则点到平面的 距离为 6、线面距离、面面距离均可转化为点面距离再用5中的 方法解决。 上述方法适用范围： 1、易于建立空间直角坐标系（即可以找出三条两两垂直 的直线） 2、易于求出各点的坐标（即由已知长度或假设可以求出 各点的坐标） 2