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第7讲 类比推理 应知：类比包括概念类比，命题类比和方法类比。使用类比推理推出来的结论不一定正确。 应会：利用类比推理协助解题。 类比就是一种相似，它可以是概念的类比，命题的类比，也可以是方法的类比。 1．概念的类比 从一个正确的概念可能推出另一类似的概念。 例1. （高一）长方体可以和长方形类比。 长方体各面的关系与长方形各边的关系相似： 长方形的每一边与另一边平行，而与其余的边垂直——长方体的每一面与另一面平行，而与其余的面垂直。 如果把边称为长方形的边界元素，把面称为长方体的边界元素，则可以把长方形和长方体的上述性质统一为“每一边界元素与另一边界元素平行，而与其余的边界元素垂直”。 2．命题的类比 从一个正确的命题可能推出另一类似的命题。 例2.（高一）平面中有“平行于同一直线的两直线平行”这条定理，因为空间的“面”类似于平面中的“线”，那么在空间很可能有定理“平行与同一平面的两平面平行”。 例3.（高一）平面中有“过已知直线外一点可以作而且只可以作一条直线与已知直线平行”这条定理，因为空间的“面”类似于平面中的“线”，那么在空间很可能有定理“过已知平面外一点可以作而且只可以作一个平面与已知平面平行”。 例4. (初三). 德国地质学家魏格纳在第一次世界大战时应征入伍，有一次因为受伤住进了后方医院。病房的墙壁上正好挂着一幅世界地图，他卧床凝视地图，发现大西洋两岸的海岸线怎么如此相似，就像一张随意撕成两半的纸一样。据此他做出了类比推理：“大西洋两岸本来是一个整块，后来受到某种影响而发生了漂移。”这就是有名的“大陆漂移”学说。 3．方法的类比 用一个已掌握的方法来解决相同类型的问题。 例5. （高一）解方程。 该方程既非幂方程，又非指数方程（称为超越方程）。如果我们能将其化为幂方程或指数方程就能解了。 因为底数是变量，要化为指数方程显然是不可能的，我们试试看能不能将其化为幂方程。 令，则原方程变为。 由得：。把它代入得：。 两边同时5次方得：。该方程有唯一解：y=5。 所以 。 例6 （高一）P-ABC是三棱锥，侧棱PA、PB、PC两两垂直。求证： 分析：本题类似于平面几何中的勾股定理，那么能不能用与证勾股定理类似的方法来证明呢？ 证勾股定理的步骤是： ①作CD⊥AB于D，证明D是AB的内分点； ②证明AC=AD?AB，BC=BD?AB； ③由①②得：AC+BC=AB?（AD+BD）=AB。 相应地，本题证明步骤如下： ①作PD⊥平面ABC于D；证明D是ΔABC的内点； ②证明 =? =? =?。 ③由①②得： 例7 （高二）A、B、C分别是ΔABC的三个内角，x、y、z三个都不为零的任意实数。求证：x+y+z≥2yzcosA+2xzcosB+2xycosC。 分析：试一试，把它看成关于x的不等式来证明行不行？ 证明： 设ω=x+y+z-2yzcosA-2xzcosB-2xyxosC= x-2(zcosB+ycosC)x+y+z-2yzcosA ∵ x项的系数为10，∴ ω的图像开口向上。 又 △x=4(zcosB+ycosC)-4(y+z-2yzcosA)=-4(zsinB-ysinC)≤0。 ∴ ω的图像于x轴至多只有一个交点。 ∴ ω≥0 ， 即 x+y+z≥2yzcosA+2xzcosB+2xyxosC。 例8（高三）求（1+2x-3x）展开式中的x的系数。 分析：我们学过二项式定理，现在遇到三项式的问题，怎么办？能不能把三项式的问题转化为二项式的问题呢？如果我们把2x-3x看成一个整体，原来的多项式就成为[1+(2x-3x)]，是一个二项式的问题了！ 解：∵（1+2x-3x）=[1+(2x-3x)]。它的一般项可以写成： T=C?(2x-3x)，其中k=0,1,2……6， 又∵ (2x-3x)的一般项可以写成： T=C?（-3x）（2x）= C?（-3）?2?x，其中r=0，1，2……k ∴ 原式的一般项为 C? C?（-3）?2?x ， 欲求x的系数，则 k+r=5 ，即 k=5-r 。 ∵ k=0,1,2……6 ，r=0，1，2……k ，且 r≤k 。 ∴ r为0，1，2，对应的k可为5、4、3 。 ∴ 展开式中的x的系数应为： C?C? (-3) ?2+ C?C? (-3) ?2+ C?C? (-3)?2=-168 例9. （高一）求y=sinx-3sinx+的最小值。有人如下解，对吗？ 解：把sinx看成x，类比于二次函数y=ax+bx+c来求最值，本题中的a=1，大于零，故图像开口向上，函数有最小值为：y= 。 答案：不对。 错误原因分析：我们先把函数用配方法化为：y=(sinx-)+1，括号里式子的值由于受到sinx取值范围的限制而不可能为零，那么函数的最小值就不是1。这个函数虽然外表上看起来类