第111114课时函数问题的题型与方法.doc

本资料来源于《七彩教育网》 课题：函数问题的题型与方法 一．复习目标： 1．了解映射的概念，理解函数的概念。 2．了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性和奇偶性的方法，并能利用函数的性质简化函数图象的绘制过程。 3．了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数。 4．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和性质。 5．理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质。 6．能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。 二．考试要求： 1．灵活运用函数概念、性质和不等式等知识以及分类讨论等方法，解函数综合题。 2．应用函数知识及思想方法，解决函数的最值问题、探索性问题与应用性问题，提高分析问题和解决问题的能力。 三．教学过程： （Ⅰ）2004年高考数学函数综合题选 1.(2004高考广东卷，19)设函数 (1) 证明: 当0 a b ,且时,ab 1; (2) 点P (x0, y0 ) (0 x0 1 )在曲线上,求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积表达式(用x0表达). 证明：（I） 故f(x)在（0，1上是减函数，而在（1，+∞）上是增函数，由0ab且f(a)=f(b)得0a1b和， 故 （II）0x1时， 曲线y=f(x)在点P（x0，y0）处的切线方程为： ∴切线与x轴、y轴正向的交点为 故所求三角形面积听表达式为： 2. (2004高考广东卷，21)设函数 其中常数m为整数. (1) 当m为何值时, (2) 定理: 若函数g(x) 在[a, b ]上连续,且g(a) 与g(b)异号,则至少存在一点x0∈(a,b),使g(x0)=0. 试用上述定理证明:当整数m1时,方程f(x)= 0,在[e-ｍ-m ,e2ｍ-m ]内有两个实根. （I）解：函数f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)连续，且 当x∈(-m,1-m)时,f ’（x）0,f(x)为减函数,f(x)f(1-m) 当x∈(1-m, +∞)时,f ’（x）0,f(x)为增函数,f(x)f(1-m) 根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m为极小值，而且 对x∈(-m, +∞)都有f(x)≥f(1-m)=1-m 故当整数m≤1时，f(x) ≥1-m≥0 (II)证明：由（I）知，当整数m1时，f(1-m)=1-m0, 函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续减函数. 由所给定理知，存在唯一的 而当整数m1时， 类似地，当整数m1时，函数f(x)=x-ln(x+m),在 上为连续增函数且 f(1-m)与异号，由所给定理知，存在唯一的,使 故当m1时，方程f(x)=0在内有两个实根。 3．（2004年春季高考北京卷，19）某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元。 （I）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？ （II）设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数的表达式； （III）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1000个，利润又是多少元？（工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本） 分析：本小题主要考查函数的基本知识，考查应用数学知识分析问题和解决问题的能力。 解：（I）设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时，一次订购量为个，则 因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价恰好降为51元。 （II）当时， 当时， 当时， 所以 （III）设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则 当时，；当时， 因此，当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是6000元； 如果订购1000个，利润是11000元。 4．已知f(x)=(x∈R)在区间[－1，1]上是增函数. （Ⅰ）求实数a的值组成的集合A； （Ⅱ）设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2.试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1≥|x1－x2|对任意a∈A及t∈[－1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由. 分析：本小题主要考查函数的单调性，导数的应用和不等式等有关知识，考查数形结合及分类讨论思想和灵活运用数学知识分析问题和解决问题的能力. 解：（Ⅰ）f＇(x)== ， ∵f(x)在[－1，1]上是增函数， ∴f＇(x)≥0对x∈[－1，1]恒成立， 即x2－ax－2≤0对x∈[－1，1]恒成立.