第3章习题解a.doc

第三章 机械能守恒 3-1 有一列火车，总质量为M，最后一节车厢质量为m．若m从匀速前进的列车中脱离出来，并走了长度为s的路程之后停下来。若机车的牵引力不变，且每节车厢所受的摩擦力正比于其重量而与速度无关。问脱开的那节车厢停止时，它距列车后端多远。 解：每节车厢所受的阻力为，牵引力; 节车厢的前进力为 . [方法一]：在以匀速v0前进的参照系看，落后一节车厢停止时落后的距离为， 节车厢多走的距离为; 此时最后一节车厢与列车后端相距. [方法二]：以地面为参考系， 则，；且. 由此解得 ，；最后得 . 3-2 一质点自球面的顶点由静止开始下滑，设球面的半径为R，球面质点之间的摩擦可以忽略，问质点离开顶点的高度h多大时开始脱离球面。 解：质点脱离球面时，要求球面对它的正压力N = 0. 由能量守衡 ，向心力公式 , 及角度关系 ; 最后解得 3-3 如本题图，一重物从高度为h处沿光滑轨道滑下后，在环内作圆周运动。设圆环的半径为R，若要重物转至圆环顶点刚好不脱离，高度h至少要多少？ 解：由能量守恒和向心力公式 , ; 最后解得 , 即高度h至少要为5R/2. 3-4 一物体由粗糙斜面底部以初速v0冲上去后又沿斜面滑下来，回到底部时的速度减为v1，求此物体达到的最大高度。 解：设滑动摩擦力为fr , 则由功能原理 , ; 可解得 . 3-5 如本题图，物体A和B用绳连接，A置于摩擦系数为(的水平桌面上，B在滑轮下自然下垂。设绳与滑轮的质量都可忽略，绳不可伸长。已知两物体的质量分别为mA和mB，求物体B从静止下降一个高度h后所获得的速度， 解：由滑动摩擦力 , 及功能原理 ; 可解得 . 3-6 用细线将一质量为m的大圆环悬挂起来。两个质量均为M的小圆环套在大圆环上，可以无摩擦地滑动。若两小圆环沿相反方向从大圆环顶部自静止下滑，求在下滑过程中，( 角取什么值时大圆环刚能升起。 解：大圆环上升时,细线的拉力T= 0. 此时小环对大环而施一向上压力N, 且. 又小环受一向下压力N , 其运动方程为 ; 再加上能量守恒公式 ;可解得 3-7 如本题图，在劲度系数为k的弹簧下挂质量分别为m1和m2 的两个物体，开始时处于静止。若把m1、m2之间的连线烧断，求m1的最大速度 解：设弹簧原长为y0 , m1+m2处于静止时长为y2 , m1静止时长为y1 ,剪断m2后，m1经过其平衡位置时，速度最大，记为vmax . 由弹性力公式知 ， ； 与机械能量守恒公式 一起，解得 . 3-8 劲度系数为k的弹簧一端固定在墙上，另一端系一质量为mA的物体。当把弹簧的长度压短x0后，在它旁边紧贴着放一质量为mB的物体。撤去外力后，设下面是光滑的水平面，求：(1)A、B离开时，B以多大速率运动；(2) A距起始点移动的最大距离。 解：（1）设B离开时的速率为vB , 则由机械能量守恒公式 , 可解得 （2）若A距平衡位置的最大距离为x0m , 则由机械能量守恒公式 , 可解得 ; 故A距起始点移动的最大距离为 . 3-9 如本题图，用劲度系数为k的弹簧将质量为mA和mB的物体连接，放在光滑的水平面上。mA紧靠墙，在mB上施力将弹簧从原长压缩了长度x0，当外力撤去后，求：(1) 弹簧和mA、mB所组成的系统的质心加速度的最大值；(2) 质心速度的最大值。 解：(1) 外力撤去的瞬间， m B受到向右的弹性力, mA受到向左的弹性力和向右的来自墙体的作用力N；由于此时A静止，故. 这样，系统(mA+mB+弹簧)受到的外力仅为 ，故有： . 当mA离开墙体后， . （2）当弹簧恢复到原长时，mA静止, mB的动能最大：, 即 . 此后系统在没有外力的作用下运动，质心速度不变, 质心最大速度vcmax服从关系式： , 即： . 此时 其中 为A, B 相对于质心系的动能. 3-10 如本题图，质量为m1和m2的物体以劲度系数为k的弹簧相连，竖直地放在地面上，m1在上，m2在下。(1) 至少先用多大的力F向下压m1，突然松开时m2才能离地？(2)在力F撤除后，由m1、m2和弹簧组成的系统质心加速度ac何时最大？何时为0？m2刚要离地面时ac=？ 解：（1）已知未加力时弹簧被压的长度为 ， 加力F后弹簧被压的长度为 ； 若弹簧伸长l 2 时，m2方能离地（此时对地的压力为N = 0）， 则 . 加上机械能守恒公式 ， 可导出 . （2）力F撤除后，（m1+m2+弹簧）系统所的总受外力为 （以向上为正）, 即 , l0为弹簧原长. 当F刚撤除时，, ,